Considere a equação
(a) Localize uma das raizes
(b) Verifique que em
podemos aplicar Biseção. Quantas iterações serão necessárias para garantir que a distância de
à solução é menor que
?
(a) Localize uma das raizes
(b) Verifique que em
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas:
- (a) localizar (ou seja, indicar um intervalo onde exista) uma das raízes;
- (b) verificar que em
podemos aplicar o método da Bisseção e, com isso, determinar quantas iterações são necessárias para garantir que a distância de à solução é menor que .
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A função envolvida é
. - O domínio natural para
é , portanto está definida e é contínua em qualquer intervalo contido em . - O intervalo sugerido para verificação é
.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que existe pelo menos uma raiz em
. Para isso usamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Mini-aula sobre o TVI (rápido e prático):
- Se uma função
é contínua em um intervalo fechado e e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos um tal que . - Aqui é importante entender “contínua”: soma de polinômio com
é contínua para . Então é contínua em .
Agora calculemos os valores em
e em
(vou mostrar conta passo a passo):
Calcule
. Assim
Sabendo que
, obtemos numericamente
Conclusão do passo:
e
. Como
é contínua em
, pelo TVI existe pelo menos um ponto
tal que
. Assim localizamos uma raiz em
.
Passo 3
Verificação formal de que podemos aplicar o método da Bisseção em
.
Mini-aula sobre quando a Bisseção é aplicável:
- Para aplicar Bisseção num intervalo
é preciso que seja contínua em e que . Então escolhe-se o ponto médio , testa-se e substitui-se o intervalo pelo subintervalo onde ocorre a troca de sinal. Repetir até convergir.
No nosso caso já mostramos:
-
é contínua em porque é polinomial e é contínua para . -
e , logo .
Portanto todos os requisitos para usar Bisseção em
estão satisfeitos.
Passo 4
Agora a parte de quantas iterações são necessárias para garantir
(aqui
denota a raiz e
o ponto médio obtido após
iterações).
Mini-aula sobre o erro na Bisseção (fórmula padrão):
- Se
é o comprimento do intervalo inicial, depois de iterações o comprimento do intervalo é
- O ponto
escolhido pela Bisseção é o ponto médio do intervalo atual; o erro máximo possível (a distância entre e a raiz ) satisfaz
Aqui
é dado e
é o número de iterações. Essa desigualdade é padrão e vem do fato de que a raiz está dentro do intervalo de comprimento
e o ponto médio está a, no máximo, metade do comprimento do intervalo.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso concreto:
- O intervalo inicial escolhido é
, então
Queremos
. Usando o limite de erro da Bisseção:
Substituindo
:
Multiplicando ambos os lados por
e por
(tudo positivo) obtemos a condição equivalente
Calcule
:
Então precisamos de
. Agora vemos qual o menor inteiro
que satisfaz isso:
Portanto
é o menor inteiro que torna
, o que dá
.
Verificação direta do erro para
:
e como
, temos
, logo a desigualdade pedida é satisfeita.
Passo 6
Comentário final rápido e incentivo: pronto — localizamos a raiz dentro de um intervalo pequeno e mostramos que com apenas
iterações de Bisseção a aproximação pelo ponto médio
fica garantidamente mais próxima que
. Boa — é um número de iterações bem manejável numa prova!
Resposta
(a) Existe uma raiz em
.
(b) São necessárias iterações.
(b) São necessárias