O que o enunciado pede: resolver o sistema de equações lineares simultâneas usando Eliminação Gaussiana.
As equações dadas são (escrevi as incógnitas como x_1,x_2,x_3\)):
\[\begin{cases} 3x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=12,\\[4pt] 3x_{1}+6x_{2}-6x_{3}=-8,\\[4pt] 0x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=10. \end{cases}
Informações relevantes que temos: os três coeficientes e termos constantes acima (observe que a terceira equação não tem termo em x_1\], então o coeficiente de \(x_1 é 0).]
Passo 2
Representação em matriz aumentada — passo inicial da Eliminação Gaussiana. A matriz aumentada do sistema é
Explicação rápida do que é isso: as três colunas à esquerda são os coeficientes de x_1,x_2,x_3 e a coluna à direita do traço vertical são os termos constantes. A ideia da Eliminação Gaussiana é aplicar operações elementares em linhas (trocar duas linhas; multiplicar uma linha por constante não nula; somar a uma linha um múltiplo de outra) para transformar essa matriz numa forma triangular superior, facilitando a resolução por substituição regressiva.]
Passo 3
Primeira eliminação: zerar o elemento abaixo do pivô (1,1).
Escolho o pivô na linha 1, coluna 1: 3. Faço L_2 \leftarrow L_2 - L_1 para eliminar o 3 em posição (2,1).
Cálculo linha a linha:
Nova linha 2: (3-3,\;6-4,\;-6-2,\;-8-12) = (0,\;2,\;-8,\;-20).
Segunda eliminação: zerar o elemento abaixo do pivô da segunda coluna. O pivô atual para a segunda etapa é o elemento (2,2)=2. Queremos eliminar o 3 em posição (3,2). Para isso fazemos L_3 \leftarrow L_3 - \dfrac{3}{2}L_2.
(Verificação rápida opcional) Substituindo \;x_{1}=\dfrac{4}{21},\;x_{2}=\dfrac{10}{7},\;x_{3}=\dfrac{20}{7}\; nas equações originais recupera-se os lados direitos 12,\,-8,10, então a solução está consistente.