Resolva o sistema de equações lineares simultâneas pelo Método da Eliminação Gaussiana:
\begin{array}{r} 3 \times 1+4 \times 2+2 \times 3=12 \\ 3 \times 1+6 \times 2-6 \times 3=-8 \\ 3 \times 2+2 \times 3=10 \end{array}

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver o sistema de equações lineares simultâneas usando Eliminação Gaussiana.
As equações dadas são (escrevi as incógnitas como x_1,x_2,x_3\)): \[\begin{cases} 3x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=12,\\[4pt] 3x_{1}+6x_{2}-6x_{3}=-8,\\[4pt] 0x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=10. \end{cases}
Informações relevantes que temos: os três coeficientes e termos constantes acima (observe que a terceira equação não tem termo em x_1\], então o coeficiente de \(x_1 é 0).]

Passo 2

Representação em matriz aumentada — passo inicial da Eliminação Gaussiana. A matriz aumentada do sistema é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 2 & 12\\[4pt] 3 & 6 & -6 & -8\\[4pt] 0 & 3 & 2 & 10 \end{array}\right].
Explicação rápida do que é isso: as três colunas à esquerda são os coeficientes de x_1,x_2,x_3 e a coluna à direita do traço vertical são os termos constantes. A ideia da Eliminação Gaussiana é aplicar operações elementares em linhas (trocar duas linhas; multiplicar uma linha por constante não nula; somar a uma linha um múltiplo de outra) para transformar essa matriz numa forma triangular superior, facilitando a resolução por substituição regressiva.]

Passo 3

Primeira eliminação: zerar o elemento abaixo do pivô (1,1).
Escolho o pivô na linha 1, coluna 1: 3. Faço L_2 \leftarrow L_2 - L_1 para eliminar o 3 em posição (2,1).
Cálculo linha a linha:
  • Nova linha 2: (3-3,\;6-4,\;-6-2,\;-8-12) = (0,\;2,\;-8,\;-20).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 2 & 12\\[4pt] 0 & 2 & -8 & -20\\[4pt] 0 & 3 & 2 & 10 \end{array}\right].]

Passo 4

Segunda eliminação: zerar o elemento abaixo do pivô da segunda coluna. O pivô atual para a segunda etapa é o elemento (2,2)=2. Queremos eliminar o 3 em posição (3,2). Para isso fazemos L_3 \leftarrow L_3 - \dfrac{3}{2}L_2.
Calculemos o múltiplo \dfrac{3}{2}L_2:
\dfrac{3}{2}L_2 = \left(0,\;\dfrac{3}{2}\cdot 2,\;\dfrac{3}{2}\cdot(-8),\;\dfrac{3}{2}\cdot(-20)\right) = (0,\;3,\;-12,\;-30).
Agora L_3 - \dfrac{3}{2}L_2:
(0,\;3,\;2,\;10) - (0,\;3,\;-12,\;-30) = (0,\;0,\;14,\;40).
A matriz triangular obtida é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 2 & 12\\[4pt] 0 & 2 & -8 & -20\\[4pt] 0 & 0 & 14 & 40 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora resolvemos por substituição regressiva. Da terceira linha temos uma equação com só x_3:
14x_{3}=40.
Logo
x_{3}=\dfrac{40}{14}=\dfrac{20}{7}.
Expliquei: simplifiquei dividindo numerador e denominador por 2.

Passo 6

Usando x_3 na segunda linha para encontrar x_2. A segunda linha corresponde a
2x_{2}-8x_{3}=-20.
Substituindo x_{3}=\dfrac{20}{7}:
2x_{2}-8\cdot\dfrac{20}{7}=-20.
Calcule -8\cdot\dfrac{20}{7} = -\dfrac{160}{7}. Então
2x_{2}-\dfrac{160}{7}=-20.
Passo a passo para isolar x_2: escreva -20 como fração com mesmo denominador: -20=-\dfrac{140}{7}. Assim
2x_{2} = -\dfrac{140}{7} + \dfrac{160}{7} = \dfrac{20}{7}.
Portanto
x_{2} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{20}{7} = \dfrac{10}{7}.

Passo 7

Finalmente, usamos x_2 e x_3 na primeira equação para achar x_1. A primeira equação é
3x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=12.
Substituindo x_{2}=\dfrac{10}{7} e x_{3}=\dfrac{20}{7}:
3x_{1}+4\cdot\dfrac{10}{7}+2\cdot\dfrac{20}{7}=12.
Calcule os termos:
4\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{40}{7},\qquad 2\cdot\dfrac{20}{7}=\dfrac{40}{7},
logo a soma é \dfrac{80}{7}. Temos
3x_{1}+\dfrac{80}{7}=12.
Escreva 12=\dfrac{84}{7}, então
3x_{1}=\dfrac{84}{7}-\dfrac{80}{7}=\dfrac{4}{7}.
Portanto
x_{1}=\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{21}.

Passo 8

(Verificação rápida opcional) Substituindo \;x_{1}=\dfrac{4}{21},\;x_{2}=\dfrac{10}{7},\;x_{3}=\dfrac{20}{7}\; nas equações originais recupera-se os lados direitos 12,\,-8,10, então a solução está consistente.

Resposta

x_{1}=\dfrac{4}{21}
x_{2}=\dfrac{10}{7}
x_{3}=\dfrac{20}{7}

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