Considere a equação
(a) Localize a ou as raízes.
(b) Verifique que em [0,1] podemos aplicar Biseção. Calcule
. Quantas iterações serão necessárias para garantir que a distância de
a uma raiz é menor que
?
(c) Calcule
pelo método de falsa posição se
e
(d) Calcule
pelo Método de Newton se
(e) Calcule
pelo Método da Secante se
e
(a) Localize a ou as raízes.
(b) Verifique que em [0,1] podemos aplicar Biseção. Calcule
(c) Calcule
(d) Calcule
(e) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede cinco coisas:
- (a) localizar a(s) raiz(es) reais (ou intervalos onde estão);
- (b) verificar que em
podemos aplicar o método da Bisseção, calcular (primeira aproximação obtida pela bisseção) e determinar quantas iterações são necessárias para garantir que a distância de a uma raiz seja menor que ; - (c) aplicar o método da falsa posição com
e e calcular (a primeira aproximação pelo método da falsa posição); - (d) calcular
pelo método de Newton com ; - (e) calcular
pelo método da secante com e .
Informações relevantes dadas ou que vamos usar:
- A equação pode ser escrita como função
cujas raízes procuramos:
- Alternativamente, multiplicando por
obtemos o polinômio
que tem as mesmas raízes reais que
(porque
para todo
).
- Para aplicar métodos numéricos vamos avaliar
e, quando preciso, . Também vamos usar a fórmula de Bisseção e as fórmulas das iterações dos métodos pedidos.
Passo 2
(a) Localizar a(s) raízes.
Primeiro verifico sinais em pontos simples para achar mudanças de sinal (isso localiza pelo Teorema do Valor Intermediário). Calculo
e
:
Como
e
, há pelo menos uma raiz em
.
Agora precisamos saber se existe mais de uma raiz real. Para isso analisamos o comportamento da função usando derivadas. Derivo
. Aplicando a regra do quociente à parte
:
Observações sobre
:
-
. - O fator
é sempre positivo para todo . - Logo o sinal de
é dado por , que é e só é zero em . Portanto para todo , com apenas em .
Isto mostra que
é uma função estritamente crescente fora de
e possui no máximo uma mudança de monotonicidade truncada (na prática ela não troca de sinal do derivado exceto no ponto isolado
). Observando os valores já calculados (
e
) e que a função não pode oscilar muito (é basicamente crescente), concluímos que existe exatamente uma raiz real, e ela está localizada no intervalo
.
Portanto a localização das raízes é: há uma única raiz real e ela pertence a
.
Passo 3
(b) Verificar que em
podemos aplicar Bisseção e calcular
.
Condição para aplicar Bisseção:
contínua em
e
. A função
é contínua para todo
porque o denominador
nunca é zero; já vimos
e
, portanto
. Logo podemos aplicar Bisseção em
.
Na bisseção a primeira aproximação
é o ponto médio do intervalo inicial
:
(Para completar a ideia: se quiséssemos escolher o subintervalo para a próxima iteração verificaríamos
. Só por curiosidade:
ou seja
, então o próximo intervalo seria
.)
Agora: quantas iterações são necessárias para garantir que a distância de
a uma raiz seja menor que
?
Explico a fórmula de erro na Bisseção: se o intervalo inicial tem comprimento
, após
iterações o intervalo atual tem comprimento
A aproximação
(o ponto médio do intervalo após
iterações) está a no máximo metade do comprimento do intervalo atual da raiz, isto é o erro máximo satisfaça
onde
é a raiz real.
No nosso caso
. Queremos
Isto equivale a
Portanto o menor inteiro
que satisfaz é
. Assim, são necessárias
iterações para garantir que
.
Passo 4
(c) Método da falsa posição com
e
. Calcular
.
Regra (fórmula) da falsa posição (regula falsi): dado um intervalo
com
, a aproximação é o ponto de interseção da reta que une os pontos
e
com o eixo
. A fórmula é
Usamos
e
. Aplicando:
Passo 5
(d) Método de Newton com
. Calcular
.
Fórmula do método de Newton: dada uma função
diferenciável, a iteração é
Já derivamos
. Avalio
e
:
Logo
Passo 6
(e) Método da Secante com
e
. Calcular
.
Fórmula da secante:
Usando
e
e
,
:
Resposta
(a) Há uma única raiz real e ela está em
.
(b) . São necessárias
iterações para garantir
.
(c) .
(d) .
(e) .
(b)
(c)
(d)
(e)