Considere a equação \frac{2 x^{3}}{1+x^{2}}=\frac{1}{3}
(a) Localize a ou as raízes.
(b) Verifique que em [0,1] podemos aplicar Biseção. Calcule X_{1}. Quantas iterações serão necessárias para garantir que a distância de X_{k} a uma raiz é menor que 2^{-10} ?
(c) Calcule X_{0} pelo método de falsa posição se a_{0}=0 e b_{0}=1
(d) Calcule X_{1} pelo Método de Newton se X_{0}=1
(e) Calcule X_{2} pelo Método da Secante se X_{0}=0 e X_{1}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{2x^{3}}{1+x^{2}}=\frac{1}{3}
e pede cinco coisas:
  • (a) localizar a(s) raiz(es) reais (ou intervalos onde estão);
  • (b) verificar que em [0,1] podemos aplicar o método da Bisseção, calcular X_{1} (primeira aproximação obtida pela bisseção) e determinar quantas iterações são necessárias para garantir que a distância de X_{k} a uma raiz seja menor que 2^{-10};
  • (c) aplicar o método da falsa posição com a_{0}=0 e b_{0}=1 e calcular X_{0} (a primeira aproximação pelo método da falsa posição);
  • (d) calcular X_{1} pelo método de Newton com X_{0}=1;
  • (e) calcular X_{2} pelo método da secante com X_{0}=0 e X_{1}=1.
Informações relevantes dadas ou que vamos usar:
  • A equação pode ser escrita como função g(x) cujas raízes procuramos:
g(x)=\frac{2x^{3}}{1+x^{2}}-\frac{1}{3}.
  • Alternativamente, multiplicando por 3(1+x^{2}) obtemos o polinômio
h(x)=6x^{3}-x^{2}-1,
que tem as mesmas raízes reais que g (porque 3(1+x^{2})>0 para todo x\in\mathbb{R}).
  • Para aplicar métodos numéricos vamos avaliar g(x) e, quando preciso, g'(x). Também vamos usar a fórmula de Bisseção e as fórmulas das iterações dos métodos pedidos.

Passo 2

(a) Localizar a(s) raízes.
Primeiro verifico sinais em pontos simples para achar mudanças de sinal (isso localiza pelo Teorema do Valor Intermediário). Calculo g(0) e g(1):
g(0)=\frac{2\cdot0^{3}}{1+0^{2}}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}.
g(1)=\frac{2\cdot1^{3}}{1+1^{2}}-\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Como g(0)=-\tfrac{1}{3}<0 e g(1)=\tfrac{2}{3}>0, há pelo menos uma raiz em (0,1).
Agora precisamos saber se existe mais de uma raiz real. Para isso analisamos o comportamento da função usando derivadas. Derivo g(x). Aplicando a regra do quociente à parte \dfrac{2x^{3}}{1+x^{2}}:
g'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2x^{3}}{1+x^{2}}\right) =\frac{6x^{2}(1+x^{2})-2x^{3}\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{6x^{2}+6x^{4}-4x^{4}}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{2x^{2}(3+x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}.
Observações sobre g'(x):
  • g'(x)=2x^{2}\dfrac{3+x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.
  • O fator \dfrac{3+x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} é sempre positivo para todo x.
  • Logo o sinal de g'(x) é dado por 2x^{2}, que é \ge 0 e só é zero em x=0. Portanto g'(x)\ge 0 para todo x, com g'(x)=0 apenas em x=0.
Isto mostra que g é uma função estritamente crescente fora de x=0 e possui no máximo uma mudança de monotonicidade truncada (na prática ela não troca de sinal do derivado exceto no ponto isolado x=0). Observando os valores já calculados ( g(0)<0 e g(1)>0) e que a função não pode oscilar muito (é basicamente crescente), concluímos que existe exatamente uma raiz real, e ela está localizada no intervalo (0,1).
Portanto a localização das raízes é: há uma única raiz real e ela pertence a (0,1).

Passo 3

(b) Verificar que em [0,1] podemos aplicar Bisseção e calcular X_{1}.
Condição para aplicar Bisseção: g contínua em [a,b] e g(a)g(b)<0. A função g(x)=\dfrac{2x^{3}}{1+x^{2}}-\dfrac{1}{3} é contínua para todo x porque o denominador 1+x^{2} nunca é zero; já vimos g(0)=-\tfrac{1}{3} e g(1)=\tfrac{2}{3}, portanto g(0)g(1)<0. Logo podemos aplicar Bisseção em [0,1].
Na bisseção a primeira aproximação X_{1} é o ponto médio do intervalo inicial [a,b]=[0,1]:
X_{1}=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}=0{,}5.
(Para completar a ideia: se quiséssemos escolher o subintervalo para a próxima iteração verificaríamos g(0{,}5). Só por curiosidade:
g\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{2(\tfrac{1}{8})}{1+\tfrac{1}{4}}-\frac{1}{3} =\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{5}{4}}-\frac{1}{3}=\frac{1}{5}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{15}\approx-0{,}0666\!,
ou seja g(1/2)<0, então o próximo intervalo seria [1/2,1].)
Agora: quantas iterações são necessárias para garantir que a distância de X_{k} a uma raiz seja menor que 2^{-10}?
Explico a fórmula de erro na Bisseção: se o intervalo inicial tem comprimento L_{0}=b-a, após k iterações o intervalo atual tem comprimento
L_{k}=\frac{L_{0}}{2^{k}}.
A aproximação X_{k} (o ponto médio do intervalo após k iterações) está a no máximo metade do comprimento do intervalo atual da raiz, isto é o erro máximo satisfaça
|X_{k}-\xi|\le \frac{L_{k}}{2}=\frac{L_{0}}{2^{k+1}},
onde \xi é a raiz real.
No nosso caso L_{0}=1-0=1. Queremos
\frac{1}{2^{k+1}}<2^{-10}.
Isto equivale a
2^{-k-1}<2^{-10}\quad\Longrightarrow\quad -k-1<-10\quad\Longrightarrow\quad k+1>10\quad\Longrightarrow\quad k>9.
Portanto o menor inteiro k que satisfaz é k=10. Assim, são necessárias 10 iterações para garantir que |X_{k}-\xi|<2^{-10}.

Passo 4

(c) Método da falsa posição com a_{0}=0 e b_{0}=1. Calcular X_{0}.
Regra (fórmula) da falsa posição (regula falsi): dado um intervalo [a,b] com g(a)g(b)<0, a aproximação é o ponto de interseção da reta que une os pontos (a,g(a)) e (b,g(b)) com o eixo x. A fórmula é
X=\frac{a\,g(b)-b\,g(a)}{g(b)-g(a)}.
Usamos g(0)=-\tfrac{1}{3} e g(1)=\tfrac{2}{3}. Aplicando:
X_{0}=\frac{0\cdot \tfrac{2}{3}-1\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right)}{\tfrac{2}{3}-\left(-\tfrac{1}{3}\right)} =\frac{\tfrac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}\approx 0{,}333333\ldots

Passo 5

(d) Método de Newton com X_{0}=1. Calcular X_{1}.
Fórmula do método de Newton: dada uma função g diferenciável, a iteração é
X_{n+1}=X_{n}-\frac{g(X_{n})}{g'(X_{n})}.
Já derivamos g'(x)=\dfrac{2x^{2}(3+x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}. Avalio g(1) e g'(1):
g(1)=\frac{2\cdot1^{3}}{1+1^{2}}-\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},
g'(1)=\frac{2\cdot1^{2}(3+1)}{(1+1)^{2}}=\frac{2\cdot4}{4}=2.
Logo
X_{1}=1-\frac{\tfrac{2}{3}}{2}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\approx0{,}666666\ldots

Passo 6

(e) Método da Secante com X_{0}=0 e X_{1}=1. Calcular X_{2}.
Fórmula da secante:
X_{n+1}=X_{n}-g(X_{n})\frac{X_{n}-X_{n-1}}{g(X_{n})-g(X_{n-1})}.
Usando g(0)=-\tfrac{1}{3} e g(1)=\tfrac{2}{3} e X_{1}=1, X_{0}=0:
X_{2}=1-\left(\frac{2}{3}\right)\frac{1-0}{\tfrac{2}{3}-\left(-\tfrac{1}{3}\right)} =1-\frac{2/3}{1}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\approx0{,}333333\ldots

Resposta

(a) Há uma única raiz real e ela está em (0,1).
(b) X_{1}=\tfrac{1}{2}=0{,}5. São necessárias 10 iterações para garantir |X_{k}-\xi|<2^{-10}.
(c) X_{0}=\tfrac{1}{3}.
(d) X_{1}=\tfrac{2}{3}.
(e) X_{2}=\tfrac{1}{3}.

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