Resolva o sistema de equações lineares simultâneas pelo Método da Eliminação Gaussiana usando Pivoteamento Parcial:
2 \times 1+ x 2+ x 3 =1
4 \times 1-6 \times 2 =5
-2 \times 1+7 \times 2+2 \times 3 =-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver um sistema de três equações lineares com três incógnitas pelo Método da Eliminação Gaussiana usando Pivoteamento Parcial. As incógnitas são x_{1}\), \(x_{2}\) e \(x_{3}\). As equações dadas são (corrigindo a notação para variáveis): \[\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=1,\\[4pt] 4x_{1}-6x_{2}+0x_{3}=5,\\[4pt] -2x_{1}+7x_{2}+2x_{3}=-2. \end{cases}
O objetivo concreto: aplicar a eliminação gaussiana com pivoteamento parcial (ou seja, trocar linhas quando necessário para que o pivô em cada coluna tenha o maior valor absoluto possível entre as linhas disponíveis) e encontrar x_{1}\], \(x_{2} e x_{3}.]

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada [A|\mathbf b] é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 4 & -6 & 0 & 5\\[4pt] -2 & 7 & 2 & -2 \end{array}\right].
Na eliminação gaussiana transformamos essa matriz até ficar em forma triangular superior, usando operações elementares sobre linhas. A cada coluna usamos pivoteamento parcial escolhendo, entre as linhas ainda não eliminadas, a que tem maior valor absoluto na coluna atual e, se necessário, trocamos linhas.]

Passo 3

Pivoteamento parcial na primeira coluna (coluna 1): comparar os valores absolutos das entradas da coluna 1 nas linhas 1 a 3:
|2|=2,\quad |4|=4,\quad |-2|=2.
O maior é |4| (linha 2). Então trocamos a linha 1 com a linha 2 para trazer o maior pivô para o topo. Após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -6 & 0 & 5\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 1\\[4pt] -2 & 7 & 2 & -2 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminar as entradas abaixo do pivô a_{11}=4.
Calculamos os multiplicadores:
m_{21}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\qquad m_{31}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}.
Atualizamos as linhas L_{2}\leftarrow L_{2}-m_{21}L_{1} e L_{3}\leftarrow L_{3}-m_{31}L_{1}=L_{3}+(\tfrac{1}{2})L_{1}.
Calculemos L_{2}:
L_{2}:\;[2,\,1,\,1\mid 1]-\tfrac{1}{2}[4,\,-6,\,0\mid 5] =[2-2,\;1-(-3),\;1-0\mid 1-\tfrac{5}{2}] =[0,\;4,\;1\mid -\tfrac{3}{2}].
Calculemos L_{3}:
L_{3}:\;[-2,\,7,\,2\mid -2]+\tfrac{1}{2}[4,\,-6,\,0\mid 5] =[-2+2,\;7-3,\;2+0\mid -2+\tfrac{5}{2}] =[0,\;4,\;2\mid \tfrac{1}{2}].
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -6 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 4 & 1 & -\tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 4 & 2 & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].]

Passo 5

Pivoteamento parcial na segunda coluna (coluna 2), entre as linhas 2 e 3 (linhas abaixo da primeira já eliminada). Comparar |4| (linha 2) e |4| (linha 3). Há empate; podemos manter a linha 2 como pivô. Então o pivô escolhido é a_{22}=4 (linha 2).

Passo 6

Eliminar a entrada abaixo do pivô a_{22}=4 na linha 3.
Multiplicador:
m_{32}=\frac{4}{4}=1.
Atualizamos L_{3}\leftarrow L_{3}-m_{32}L_{2}=L_{3}-L_{2}.
Calculemos:
L_{3}:\;[0,\,4,\,2\mid \tfrac{1}{2}]-[0,\,4,\,1\mid -\tfrac{3}{2}] =[0,\;0,\;1\mid \tfrac{1}{2}-(-\tfrac{3}{2})] =[0,\;0,\;1\mid 2].
Agora a matriz está em forma triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -6 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 4 & 1 & -\tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora aplicamos substituição retroativa (back substitution) para encontrar as incógnitas.
Da última linha temos:
1\cdot x_{3}=2 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=2.
Usando a segunda linha:
4x_{2}+1x_{3}=-\tfrac{3}{2}.
Substituindo x_{3}=2:
4x_{2}+2=-\tfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad 4x_{2}=-\tfrac{3}{2}-2=-\tfrac{3}{2}-\tfrac{4}{2}=-\tfrac{7}{2}.
Portanto
x_{2}=\frac{-\tfrac{7}{2}}{4}=-\tfrac{7}{8}.
Usando a primeira linha:
4x_{1}-6x_{2}+0\cdot x_{3}=5.
Substituindo x_{2}=-\tfrac{7}{8}:
4x_{1}-6\left(-\tfrac{7}{8}\right)=5\quad\Rightarrow\quad 4x_{1}+ \tfrac{42}{8}=5.
Simplificando \tfrac{42}{8}=\tfrac{21}{4}. Então
4x_{1}=5-\tfrac{21}{4}=\tfrac{20}{4}-\tfrac{21}{4}=-\tfrac{1}{4}.
Logo
x_{1}=\frac{-\tfrac{1}{4}}{4}=-\tfrac{1}{16}.
Opcionalmente, pode-se checar substituindo \,x_{1}=-\tfrac{1}{16},\;x_{2}=-\tfrac{7}{8},\;x_{3}=2 nas equações originais — todas satisfazem o sistema (confere-se rapidamente por cálculo).

Resposta

x_{1}=-\tfrac{1}{16}
x_{2}=-\tfrac{7}{8}
x_{3}=2

Exercícios relacionados