Resolva o sistema de equações lineares simultâneas pelo Método da Eliminação Gaussiana usando Pivoteamento Parcial:
2 \times 1+ x 2+ x 3
=1
4 \times 1-6 \times 2
=5
-2 \times 1+7 \times 2+2 \times 3
=-2
Passo 1
O enunciado pede para resolver um sistema de três equações lineares com três incógnitas pelo Método da Eliminação Gaussiana usando Pivoteamento Parcial. As incógnitas são x_{1}\), \(x_{2}\) e \(x_{3}\). As equações dadas são (corrigindo a notação para variáveis):
\[\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=1,\\[4pt] 4x_{1}-6x_{2}+0x_{3}=5,\\[4pt] -2x_{1}+7x_{2}+2x_{3}=-2. \end{cases}
O objetivo concreto: aplicar a eliminação gaussiana com pivoteamento parcial (ou seja, trocar linhas quando necessário para que o pivô em cada coluna tenha o maior valor absoluto possível entre as linhas disponíveis) e encontrar x_{1}\], \(x_{2} e x_{3}.]
Passo 2
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada [A|\mathbf b] é:
Na eliminação gaussiana transformamos essa matriz até ficar em forma triangular superior, usando operações elementares sobre linhas. A cada coluna usamos pivoteamento parcial escolhendo, entre as linhas ainda não eliminadas, a que tem maior valor absoluto na coluna atual e, se necessário, trocamos linhas.]
Passo 3
Pivoteamento parcial na primeira coluna (coluna 1): comparar os valores absolutos das entradas da coluna 1 nas linhas 1 a 3:
|2|=2,\quad |4|=4,\quad |-2|=2.
O maior é |4| (linha 2). Então trocamos a linha 1 com a linha 2 para trazer o maior pivô para o topo. Após a troca:
Pivoteamento parcial na segunda coluna (coluna 2), entre as linhas 2 e 3 (linhas abaixo da primeira já eliminada). Comparar |4| (linha 2) e |4| (linha 3). Há empate; podemos manter a linha 2 como pivô. Então o pivô escolhido é a_{22}=4 (linha 2).
Passo 6
Eliminar a entrada abaixo do pivô a_{22}=4 na linha 3.
Opcionalmente, pode-se checar substituindo \,x_{1}=-\tfrac{1}{16},\;x_{2}=-\tfrac{7}{8},\;x_{3}=2 nas equações originais — todas satisfazem o sistema (confere-se rapidamente por cálculo).