Considere a equação 2+sen(x)-x=0. Verifique se o MPF converge no intervalo [2,3]. Em caso afirmativo, estime o número de iterações necessária para obter uma aproximação com precisão de 10^-5.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: “Considere a equação
A gente quer ver se o Método do Ponto Fixo (MPF) converge em 2 + sen(x) - x = 0 e, se sim, estimar quantas iterações precisamos para ter precisão .
Conteúdo que vamos usar:
  • Reescrever a equação como .
  • Verificar se leva em si mesma e se .
  • Usar a fórmula de cota de erro do MPF para estimar o número de iterações.

Passo 2

Primeiro escolhemos a função de ponto fixo:
A derivada é
x = 2 + sen(x)Longrightarrow g(x) = 2 + sen(x)

Passo 3

(a) Conferir que |g'(x)| = |cos(x)|, cos(2)approx-0.42,,;cos(3)approx-0.99 manda M = maxxin[2,3]|cos(x)| = 0.99 < 1 dentro de :
  • Para , varia entre e .
  • Logo fica entre e , que está todo dentro de .
(b) Calcular o supremo de em :
Então
Isso garante convergência do MPF no intervalo.

Passo 4

Queremos |xn - x^*| <= M^n1 - M,|x1 - x0| . A cota de erro do MPF diz
x1 = g(2) = 2 + sen(2)approx 2.9093, |x1 - x0| approx 0.9093
Escolhendo 0.99^n1 - 0.99,0.9093 <= 10^-5 ;Longrightarrow; 0.99^n <= 10^-5,(1-0.99)0.9093 approx 1.1times10^-7 , calculamos
Logo queremos
n >= ln(1.1times10^-7)ln(0.99) approx -15.03-0.01005 approx 1496
Tirando logaritmo:

Resposta

Sim, o MPF converge em , e para chegar a uma aproximação com erro menor que são necessárias cerca de 1496 iterações.

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