Considere a equação
. Verifique se o MPF converge no intervalo
. Em caso afirmativo, estime o número de iterações necessária para obter uma aproximação com precisão de
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado é: “Considere a equação
A gente quer ver se o Método do Ponto Fixo (MPF) converge em
e, se sim, estimar quantas iterações precisamos para ter precisão
.
Conteúdo que vamos usar:
- Reescrever a equação como
. - Verificar se
leva em si mesma e se . - Usar a fórmula de cota de erro do MPF para estimar o número de iterações.
Passo 2
Primeiro escolhemos a função de ponto fixo:
A derivada é
Passo 3
(a) Conferir que
manda
dentro de
:
- Para
, varia entre e . - Logo fica entre
e , que está todo dentro de .
(b) Calcular o supremo de
em
:
Então
Isso garante convergência do MPF no intervalo.
Passo 4
Queremos
. A cota de erro do MPF diz
Escolhendo
, calculamos
Logo queremos
Tirando logaritmo:
Resposta
Sim, o MPF converge em
, e para chegar a uma aproximação com erro menor que
são necessárias cerca de 1496 iterações.