Considere a equação cos (x)=x. Verifique que a solução da equação acima é ponto fixo das seguintes funções: (a) g(x)=cos (x); (b) g(x)=0,4 x+0,6 cos (x).
Use o Teorema do Ponto Fixo para verificar que a sequência x0=0,5, com e , converge para a solução da equação nos dois casos acima. Observe o comportamento numérico dessas sequências. Qual estabiliza mais rápido com cinco casas decimais? Discuta.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente olhar a equação
cos(x)=x
e mostrar que a solução dessa equação é ponto‐fixo de duas funções:
a)
b) .
Depois, usando o Teorema do Ponto Fixo (que diz que se uma função é contração num intervalo então a iteração converge para o ponto‐fixo), a gente vai:
  1. Verificar a condição de contração em cada caso (derivada limitada por constante menor que 1).
  2. Iterar numericamente com até obter cinco casas decimais estáveis e comparar qual converge mais rápido.
O que vamos precisar:
  • Conhecer o Teorema do Ponto Fixo (contração convergência).
  • Saber calcular derivadas e estimar seu valor máximo no intervalo de interesse.
  • Fazer algumas iterações em LaTeX pra ver a convergência numérica.

Passo 2

Mostrar que se g2(x)=0.4x+0.6x = x,(0.4+0.6)=x então é ponto‐fixo de e .
  • Para : se , então .
  • Para : de novo, substituindo ,
Logo, em ambos os casos qualquer solução de satisfaz .

Passo 3

Verificar a condição de contração (Teorema do Ponto Fixo).
  1. Para g1'(x) = -sin(x) ,
    g2'(x)=0.4-0.6sin(x)
    Num intervalo que contenha a raiz (por exemplo g2'(x)in[,0.4-0.6sin(1),,0.4,]approx[-0.104,0.4] ), temos .
    Então é contração com constante .
  2. Para ,
    Novamente em , , logo
    Portanto , ou seja, é contração com .
Como em cada caso , o Teorema garante convergência única de para o ponto‐fixo, para qualquer em .

Passo 4

Iterar numericamente até que , com .
a) Para :
n
0 0.500000
1 0.87758256
2 0.63673005
3 0.80489845
4 0.69477803
5 0.76891204
24 0.73908707
25 0.73908513 (diferença ≈ )
Ou seja, cerca de 25 iterações pra estabilizar cinco casas.
b) Para :
n
0 0.50000000
1 0.72654954
2 0.73840405
3 0.73934027
4 0.73931257 (diferença ≈ )
5 0.73931202 (diferença ≈ )
Aqui só 5 iterações pra chegar à mesma precisão.

Passo 5

Comparando:
  • precisou ~25 iterações.
  • precisou ~5 iterações.
Isso faz sentido porque a constante de contração de é menor ( ) que a de ( ). Quanto menor , mais rápido a sequência “puxa” pro ponto‐fixo.

Resposta

A sequência com converge mais rapidamente (5 iterações para cinco casas decimais) do que a sequência com (≈25 iterações).

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