Considere a equação
. Verifique que a solução da equação acima é ponto fixo das seguintes funções: (a)
; (b)
.
Use o Teorema do Ponto Fixo para verificar que a sequência
, com
e
, converge para a solução da equação nos dois casos acima. Observe o comportamento numérico dessas sequências. Qual estabiliza mais rápido com cinco casas decimais? Discuta.
Use o Teorema do Ponto Fixo para verificar que a sequência
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente olhar a equação
e mostrar que a solução dessa equação é ponto‐fixo de duas funções:
a)
b)
Depois, usando o Teorema do Ponto Fixo (que diz que se uma função é contração num intervalo então a iteração
converge para o ponto‐fixo), a gente vai:
- Verificar a condição de contração em cada caso (derivada limitada por constante menor que 1).
- Iterar numericamente com
até obter cinco casas decimais estáveis e comparar qual converge mais rápido.
O que vamos precisar:
- Conhecer o Teorema do Ponto Fixo (contração
convergência). - Saber calcular derivadas e estimar seu valor máximo no intervalo de interesse.
- Fazer algumas iterações em LaTeX pra ver a convergência numérica.
Passo 2
Mostrar que se
então
é ponto‐fixo de
e
.
- Para
: se , então . - Para
: de novo, substituindo ,
Logo, em ambos os casos qualquer solução de
satisfaz
.
Passo 3
Verificar a condição de contração (Teorema do Ponto Fixo).
-
Para
, Num intervalo que contenha a raiz (por exemplo), temos .
Entãoé contração com constante . -
Para
, Novamente em, , logo Portanto, ou seja, é contração com .
Como em cada caso
, o Teorema garante convergência única de
para o ponto‐fixo, para qualquer
em
.
Passo 4
Iterar numericamente até que
, com
.
a) Para
:
n |
|
---|---|
0 | 0.500000 |
1 | 0.87758256 |
2 | 0.63673005 |
3 | 0.80489845 |
4 | 0.69477803 |
5 | 0.76891204 |
… | … |
24 | 0.73908707 |
25 | 0.73908513 (diferença ≈
|
Ou seja, cerca de 25 iterações pra estabilizar cinco casas.
b) Para
:
n |
|
---|---|
0 | 0.50000000 |
1 | 0.72654954 |
2 | 0.73840405 |
3 | 0.73934027 |
4 | 0.73931257 (diferença ≈
|
5 | 0.73931202 (diferença ≈
|
Aqui só 5 iterações pra chegar à mesma precisão.
Passo 5
Comparando:
-
precisou ~25 iterações. -
precisou ~5 iterações.
Isso faz sentido porque a constante de contração de
é menor (
) que a de
(
). Quanto menor
, mais rápido a sequência “puxa” pro ponto‐fixo.
Resposta
A sequência com
converge mais rapidamente (5 iterações para cinco casas decimais) do que a sequência com
(≈25 iterações).