Considere a equação x=5x^2+2. Encontre um intervalo [a, b] no qual o MPF convirja. Estime o número de iteraçõos necessária para obter uma aproximação com precisão de 10^-3. Em seguida obtenha essa aproximação.

Passo 1

Beleza, vamos repetir o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Enunciado: “Temos a equação
x = 5x^2 + 2
e precisamos:
1) Achar um intervalo onde o Método do Ponto Fixo (MPF) converge.
2) Estimar quantas iterações são necessárias para ter precisão .
3) Executar as iterações e dar essa aproximação.
Conteúdo: ponto fixo e critério de convergência ( ), estimativa de número de iterações pelo erro global, e iteração em si. Vamos usar álgebra básica, cálculo de derivada e desigualdade de erro.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa escrever a função de ponto fixo:
g(x) = 5x^2 + 2
No MPF, a solução g'(x) = -10x^3 satisfaz . Para garantir convergência num intervalo , a gente deve ter:
  1. ,
  2. .
Calculemos a derivada:

Passo 3

Agora, escolhemos um intervalo razoável que contenha o ponto fixo e satisfaça as condições. Sabendo que a raiz real está perto de g(x) = 5x^2+2 Rightarrow g(2,4)approx2,868, g(2,8)approx2,638, , vamos testar k = max |g'(x)| = |,-10(2.4)^3| approx0,723 < 1 .
  1. Para qualquer , que ficam dentro de .
  2. O maior valor de nesse intervalo é em :
Logo, o MPF converge em .

Passo 4

Estimativa de número de iterações. O erro após |xn - x^*| <= k^n1-k,l|x1 - x0r| passos satisfaz
x1 = g(2.8)approx2,638 Rightarrow |x1 - x0| = 0,162
Escolhemos |xn-x^*| <= 0,162,(0,723)^n1-0,723 = 0,585,(0,723)^n . Então
(0,723)^n <= 10^-30,585approx1,71times10^-3 Longrightarrow n >rsim ln(1,71times10^-3)ln(0,723)approx20
Substituindo :
Queremos isso :
Então, até cerca de 20 iterações a gente tem garantia teórica.

Passo 5

Vamos iterar até a diferença entre |x9 - x8| approx |2,690325 - 2,691162| = 0,000837 < 10^-3 e ficar menor que .
Definindo , começamos em :
n x_n
0 2,800000
1 2,637805
2 2,718378
3 2,676163
4 2,697975
5 2,686470
6 2,692719
7 2,689408
8 2,691162
9 2,690325
Em ,

Resposta

Intervalo de convergência: x approx 2,6903 .
Estimativa de iterações: cerca de 20 (garantia teórica), mas na prática precisamos só 9.
A aproximação final é

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