Considere a equação . Encontre um intervalo no qual o MPF convirja. Estime o número de iteraçõos necessária para obter uma aproximação com precisão de . Em seguida obtenha essa aproximação.
Passo 1
Beleza, vamos repetir o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Enunciado: “Temos a equação
e precisamos:
1) Achar um intervalo onde o Método do Ponto Fixo (MPF) converge.
2) Estimar quantas iterações são necessárias para ter precisão .
3) Executar as iterações e dar essa aproximação.
Conteúdo: ponto fixo e critério de convergência (), estimativa de número de iterações pelo erro global, e iteração em si. Vamos usar álgebra básica, cálculo de derivada e desigualdade de erro.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa escrever a função de ponto fixo:
No MPF, a solução satisfaz . Para garantir convergência num intervalo , a gente deve ter:
,
.
Calculemos a derivada:
Passo 3
Agora, escolhemos um intervalo razoável que contenha o ponto fixo e satisfaça as condições. Sabendo que a raiz real está perto de , vamos testar .
Para qualquer ,que ficam dentro de .
O maior valor de nesse intervalo é em :
Logo, o MPF converge em .
Passo 4
Estimativa de número de iterações. O erro após |xn - x^*| <= k^n1-k,l|x1 - x0r| passos satisfaz
Escolhemos |xn-x^*| <= 0,162,(0,723)^n1-0,723 = 0,585,(0,723)^n . Então
(0,723)^n <= 10^-30,585approx1,71times10^-3 Longrightarrow n >rsim ln(1,71times10^-3)ln(0,723)approx20
Substituindo :
Queremos isso :
Então, até cerca de 20 iterações a gente tem garantia teórica.
Passo 5
Vamos iterar até a diferença entre |x9 - x8| approx |2,690325 - 2,691162| = 0,000837 < 10^-3 e ficar menor que .
Definindo , começamos em :
n
x_n
0
2,800000
1
2,637805
2
2,718378
3
2,676163
4
2,697975
5
2,686470
6
2,692719
7
2,689408
8
2,691162
9
2,690325
Em ,
Resposta
Intervalo de convergência: x approx 2,6903 .
Estimativa de iterações: cerca de 20 (garantia teórica), mas na prática precisamos só 9.
A aproximação final é