Seja f(x)=x^3-2 x+1. Para resolver a equação f(x)=0 são propostos quatro problemas de ponto fixo.
(a) g(x)=2x-1x^2;
(b) g(x)=raiz2-1x;
© g(x)=-raiz[3]1-2 x;
(d) g(x).
Deduza cada uma das funções x0=0,5 acima. Depois tomando x1, x2, x3 calcule x4 e para cada uma das funções acima. Discuta os resultados obtidos.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a equação
f(x)=x^3-2x+1=0
e quatro jeitos diferentes de virar isso num problema de ponto-fixo x=g(x). A ideia é usar iteração
xn+1=g(xn)
e ver se dá certo. O conteúdo é “iteração de ponto-fixo” e o que precisamos saber é:
  1. Como reescrever f(x)=0 na forma x=g(x).
  2. Critério de convergência: se |g'(r)|<1 perto da raiz r.
  3. Executar as iterações a partir de x0=0,5 até x4.

Passo 2

Vamos deduzir cada g(x) a partir de x^3-2x+1=0:
(a) Passe -2x+1 pro outro lado e divida por 2:
x^3-2x+1=0;Longrightarrow;2x=x^3+1;Longrightarrow;x=x^3+12
Logo ga(x)=tfrac12(x^3+1).
(b) Igualando x^3=2x-1 e dividindo tudo por x^2;(xneq0):
x^3=2x-1;Longrightarrow;x=2x-1x^2
Então gb(x)=2x-1x^2.
© De x^3=2x-1 a gente pode isolar x como raiz quadrada (escolhendo sinal +):
x^3=2x-1;Longrightarrow;x^2=2-1x;Longrightarrow;x=raiz2-1x
Fica gc(x)=raiz2-1x.
(d) Finalmente, reaproveitando x^3=2x-1 e isolando por radiciação cúbica com sinal “–” para dar o formato pedido:
x^3=2x-1;Longrightarrow;x= -raiz[3],1-2x,
Logo gd(x)=-raiz[3]1-2x.

Passo 3

Teoria rápida de ponto-fixo:
  • Iteração: xn+1=g(xn).
  • Converge para uma raiz r se, perto de r, |g'(r)|<1.
  • Se der |g'(r)|>1, ou der divisão por zero no caminho, não vai funcionar.

Passo 4

Calcular para (a) ga(x)=x^3+12:
x₀=0,5
x₁ = (0,5³+1)/2 = (0,125+1)/2 = 0,5625
x₂ = (0,5625³+1)/2 ≈ (0,17798+1)/2 = 0,58899
x₃ = (0,58899³+1)/2 ≈ (0,20445+1)/2 = 0,60223
x₄ = (0,60223³+1)/2 ≈ (0,21870+1)/2 = 0,60935

Passo 5

Para (b) gb(x)=2x-1x^2:
x₀=0,5
x₁ = 2/0,5 - 1/(0,5)² = 4 - 4 = 0
x₂ = 2/0 – 1/0² → divisão por zero. Já emperrou.

Passo 6

Para © gc(x)=raiz2-1x:
x₀=0,5
x₁ = √(2 - 1/0,5) = √(2 - 2) = 0
x₂ = √(2 - 1/0) → divisão por zero. Também não vai.

Passo 7

Para (d) gd(x)=-raiz[3]1-2x:
x₀=0,5
x₁ = -∛(1 - 2·0,5) = -∛0 = 0
x₂ = -∛(1 - 2·0) = -∛1 = -1
x₃ = -∛(1 - 2·(-1)) = -∛3 ≈ -1,442
x₄ = -∛(1 - 2·(-1,442)) = -∛(1+2,884) = -∛3,884 ≈ -1,574

Passo 8

Discussão dos resultados:
  • (a) convergiu lentamente para cerca de 0,618 (que é de fato uma raiz de x^3-2x+1=0).
  • (b) e © deram divisão por zero já no segundo passo, não servem.
  • (d) não estaciona num valor, vai pulando valores negativos e diverge.
Só o caso (a) é bem comportado com x0=0,5, pois ali |ga'(r)|<1 ao redor da raiz.

Resposta

(a) x₁=0,5625; x₂≈0,58899; x₃≈0,60223; x₄≈0,60935 (converge para ≈0,618)
(b) x₁=0; x₂ indefinido (divisão por zero)
© x₁=0; x₂ indefinido (divisão por zero)
(d) x₁=0; x₂=−1; x₃≈−1,442; x₄≈−1,574 (não converge)

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