Seja
. Para resolver a equação
são propostos quatro problemas de ponto fixo.
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
.
Deduza cada uma das funções
acima. Depois tomando
calcule
e
para cada uma das funções acima. Discuta os resultados obtidos.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem a equação
e quatro jeitos diferentes de virar isso num problema de ponto-fixo
e ver se dá certo. O conteúdo é “iteração de ponto-fixo” e o que precisamos saber é:
- Como reescrever
na forma . - Critério de convergência: se
perto da raiz . - Executar as iterações a partir de
até .
Passo 2
Vamos deduzir cada
a partir de
:
(a) Passe
pro outro lado e divida por 2:
Logo
(b) Igualando
e dividindo tudo por
:
Então
© De
a gente pode isolar
como raiz quadrada (escolhendo sinal +):
Fica
(d) Finalmente, reaproveitando
e isolando por radiciação cúbica com sinal “–” para dar o formato pedido:
Logo
Passo 3
Teoria rápida de ponto-fixo:
- Iteração:
. - Converge para uma raiz
se, perto de , . - Se der
, ou der divisão por zero no caminho, não vai funcionar.
Passo 4
Calcular para (a)
:
x₀=0,5
x₁ = (0,5³+1)/2 = (0,125+1)/2 = 0,5625
x₂ = (0,5625³+1)/2 ≈ (0,17798+1)/2 = 0,58899
x₃ = (0,58899³+1)/2 ≈ (0,20445+1)/2 = 0,60223
x₄ = (0,60223³+1)/2 ≈ (0,21870+1)/2 = 0,60935
x₁ = (0,5³+1)/2 = (0,125+1)/2 = 0,5625
x₂ = (0,5625³+1)/2 ≈ (0,17798+1)/2 = 0,58899
x₃ = (0,58899³+1)/2 ≈ (0,20445+1)/2 = 0,60223
x₄ = (0,60223³+1)/2 ≈ (0,21870+1)/2 = 0,60935
Passo 5
Para (b)
:
x₀=0,5
x₁ = 2/0,5 - 1/(0,5)² = 4 - 4 = 0
x₂ = 2/0 – 1/0² → divisão por zero. Já emperrou.
x₁ = 2/0,5 - 1/(0,5)² = 4 - 4 = 0
x₂ = 2/0 – 1/0² → divisão por zero. Já emperrou.
Passo 6
Para ©
:
x₀=0,5
x₁ = √(2 - 1/0,5) = √(2 - 2) = 0
x₂ = √(2 - 1/0) → divisão por zero. Também não vai.
x₁ = √(2 - 1/0,5) = √(2 - 2) = 0
x₂ = √(2 - 1/0) → divisão por zero. Também não vai.
Passo 7
Para (d)
:
x₀=0,5
x₁ = -∛(1 - 2·0,5) = -∛0 = 0
x₂ = -∛(1 - 2·0) = -∛1 = -1
x₃ = -∛(1 - 2·(-1)) = -∛3 ≈ -1,442
x₄ = -∛(1 - 2·(-1,442)) = -∛(1+2,884) = -∛3,884 ≈ -1,574
x₁ = -∛(1 - 2·0,5) = -∛0 = 0
x₂ = -∛(1 - 2·0) = -∛1 = -1
x₃ = -∛(1 - 2·(-1)) = -∛3 ≈ -1,442
x₄ = -∛(1 - 2·(-1,442)) = -∛(1+2,884) = -∛3,884 ≈ -1,574
Passo 8
Discussão dos resultados:
- (a) convergiu lentamente para cerca de 0,618 (que é de fato uma raiz de
). - (b) e © deram divisão por zero já no segundo passo, não servem.
- (d) não estaciona num valor, vai pulando valores negativos e diverge.
Só o caso (a) é bem comportado com
, pois ali
ao redor da raiz.
Resposta
(a) x₁=0,5625; x₂≈0,58899; x₃≈0,60223; x₄≈0,60935 (converge para ≈0,618)
(b) x₁=0; x₂ indefinido (divisão por zero)
© x₁=0; x₂ indefinido (divisão por zero)
(d) x₁=0; x₂=−1; x₃≈−1,442; x₄≈−1,574 (não converge)
(b) x₁=0; x₂ indefinido (divisão por zero)
© x₁=0; x₂ indefinido (divisão por zero)
(d) x₁=0; x₂=−1; x₃≈−1,442; x₄≈−1,574 (não converge)