Considere a equação x^4+0,5 x-1,55=0.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação
f(x)=x^4+0,5x-1,55=0
Conteúdo: métodos numéricos (Teorema do Valor Intermediário, bissecção, Newton–Raphson).
O que precisamos:
  • Saber usar o Teorema do Valor Intermediário pra achar intervalos onde erro<=b-a2^n muda de sinal (raízes reais).
  • Fórmula do método da bissecção e estimativa de erro:
xk+1=xk-f(xk)f'(xk), f'(x)=4x^3+0,5
  • Fórmula de Newton:

Passo 2

Localizar e isolar raízes reais usando o Teorema do Valor Intermediário (se f(-2)=(-2)^4+0,5(-2)-1,55=16-1-1,55=13,45>0, f(-1)=1-0,5-1,55=-1,05<0 então há raiz em f(1)=1+0,5-1,55=-0,05<0, f(1,1)=1,1^4+0,5cdot1,1-1,55approx1,4641+0,55-1,55=0,4641>0 ):
  1. Testa em e em : Logo, existe raiz em .
  2. Testa em e em : Logo, existe raiz em .

Passo 3

Quantas iterações de bissecção pra garantir erro 0,12^n<=10^-4 ;Longrightarrow; 2^n>=0,110^-4=10^3 ;Longrightarrow; n>=log2(10^3)approx9,97 ?
Escolho o intervalo menor (largura ).
Queremos
Como tem que ser inteiro, iterações.

Passo 4

Calcular a solução em 0,12^n<=10^-6 ;Longrightarrow; 2^n>=10^5 ;Longrightarrow; n>=log2(10^5)approx16,61 ;Longrightarrow; n=17 com erro xk+1 = xk-xk^4+0,5xk-1,554xk^3+0,5 e comparar bissecção vs Newton:
4.1) Bissecção
Fazendo 17 iterações, a aproximação chega a com erro .
4.2) Newton–Raphson
Escolho .
Itero



(erro < ).
Foram só 4 iterações.

Resposta

As raízes reais estão em e .
Para :
  • Bissecção p/ erro : 10 iterações.
  • Bissecção p/ erro : 17 iterações.
  • Newton p/ erro : 4 iterações, com .

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