Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
Conteúdo: métodos numéricos (Teorema do Valor Intermediário, bissecção, Newton–Raphson).
O que precisamos:
O que precisamos:
- Saber usar o Teorema do Valor Intermediário pra achar intervalos onde
muda de sinal (raízes reais). - Fórmula do método da bissecção e estimativa de erro:
- Fórmula de Newton:
Passo 2
Localizar e isolar raízes reais usando o Teorema do Valor Intermediário (se
então há raiz em
):
- Testa em
e em : Logo, existe raiz em . - Testa em
e em : Logo, existe raiz em .
Passo 3
Quantas iterações de bissecção pra garantir erro
?
Escolho o intervalo menor (largura
).
Queremos
Escolho o intervalo menor
Queremos
Como
tem que ser inteiro,
iterações.
Passo 4
Calcular a solução em
com erro
e comparar bissecção vs Newton:
4.1) Bissecção
Fazendo 17 iterações, a aproximação chega a
com erro
.
4.2) Newton–Raphson
Escolho .
Itero
Escolho
Itero
–
–
–
– (erro <
).
Foram só 4 iterações.
–
–
–
Foram só 4 iterações.
Resposta
As raízes reais estão em
e
.
Para :
Para
- Bissecção p/ erro
: 10 iterações. - Bissecção p/ erro
: 17 iterações. - Newton p/ erro
: 4 iterações, com .