Justifique a convergência ou divergência das seguintes séries numéricas:
sumn=1^infty 1n^5

Passo 1

Beleza, então o exercício tá perguntando se a série
sumn=1^infty 1n^5
converge ou diverge. Isso é matéria de séries numéricas, e aqui vamos usar o teste da série p (às vezes chamado de p-série), que diz que uma série da forma
sumn=1^infty1n^p
converge se, e somente se, .

Passo 2

Explicando rapidinho a teoria: a p-série é uma das séries mais famosas, e seu comportamento depende só desse expoente .
  • Se , dá divergência (por exemplo, a famosa série harmônica com diverge).
  • Se , ela converge (quanto maior , mais rápido os termos caem pra zero).
No nosso caso, , ou seja, bem maior que 1.

Passo 3

Como sumn=1^infty 1n^5 , a série
converge pelo teste da p-série.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados