Considere a equação x^3-2 x-5=0.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: a equação
f(x)=x^3 - 2x - 5 = 0
Conteúdo que vamos usar:
  • Teorema do Valor Intermediário para “achar” o intervalo onde a raiz está;
  • Método da Bissecção e sua fórmula de número mínimo de iterações
  • Método de Newton, que usa
    ,
    onde .
    Resumindo: primeiro a gente localiza e isola a raiz; depois calcula quantas iterações de bissecção precisaremos para erro < ; e por fim resolve até erro < comparando bissecção vs. Newton.

Passo 2

Localizando/isolando a raiz (Teorema do Valor Intermediário):
  • Calcule .
  • Calcule .
    Como , existe pelo menos uma raiz em .
    Como é monótona crescente nesse intervalo (veja para ), há exatamente uma raiz real em .

Passo 3

Quantas iterações de bissecção para garantir erro < N >= log2!l(tfrac110^-4r) = log2(10^4) = log(10^4)log2 approx 40,3010 approx 13,29 ?
A largura inicial é . A condição é
Como tem que ser inteiro, precisamos de iterações de bissecção para erro < .

Passo 4

Raiz com erro < N >= log2!l(tfrac110^-6r) = log2(10^6) approx 60,3010 approx 19,93, via bissecção:
Mesma ideia, só muda .
logo iterações para chegar em um intervalo de tamanho menor que .

Passo 5

Raiz com erro < xn+1 = xn - xn^3-2xn-53xn^2-2 via Método de Newton:
  1. , .
  2. Escolho (começa no bordo esquerdo).
  3. Itero
Fazendo as contas (mostro só progresso):
  • .
  • .
  • .
  • .
  • com diferença menor que .
    Ou seja, em cerca de 5 iterações a gente já está com precisão .

Resposta

Raiz aproximada:
x approx 2,094551,
Número de iterações:
  • Bissecção para erro < : 14 iterações.
  • Bissecção para erro < : 20 iterações.
  • Newton para erro < : 5 iterações.

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