Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza, olha só o que a gente tem: a equação
Conteúdo que vamos usar:
- Teorema do Valor Intermediário para “achar” o intervalo onde a raiz está;
- Método da Bissecção e sua fórmula de número mínimo de iterações
- Método de Newton, que usa
,
onde.
Resumindo: primeiro a gente localiza e isola a raiz; depois calcula quantas iterações de bissecção precisaremos para erro <; e por fim resolve até erro < comparando bissecção vs. Newton.
Passo 2
Localizando/isolando a raiz (Teorema do Valor Intermediário):
- Calcule
. - Calcule
.
Como, existe pelo menos uma raiz em .
Comoé monótona crescente nesse intervalo (veja para ), há exatamente uma raiz real em .
Passo 3
Quantas iterações de bissecção para garantir erro <
?
A largura inicial é . A condição é
A largura inicial é
Como
tem que ser inteiro, precisamos de
iterações de bissecção para erro <
.
Passo 4
Raiz com erro <
via bissecção:
Mesma ideia, só muda .
Mesma ideia, só muda
logo
iterações para chegar em um intervalo de tamanho menor que
.
Passo 5
Raiz com erro <
via Método de Newton:
-
, . - Escolho
(começa no bordo esquerdo). - Itero
Fazendo as contas (mostro só progresso):
-
. -
. -
. -
. -
com diferença menor que .
Ou seja, em cerca de 5 iterações a gente já está com precisão.
Resposta
Raiz aproximada:
Número de iterações:
- Bissecção para erro <
: 14 iterações. - Bissecção para erro <
: 20 iterações. - Newton para erro <
: 5 iterações.