Considere a equação de Legendre:
definida para
. Resolva a equação em
usando o método de Frobenius e encontre duas soluções linearmente independentes. Em seguida:
(a) O que ocorre nos pontos singulares regulares se
não for um número inteiro?
(b) Quais sāo as condições sobre
para garantir que as soluções sejam finitas em
?
(a) O que ocorre nos pontos singulares regulares se
(b) Quais sāo as condições sobre
Passo 1
Vamos identificar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
- A equação dada é a equação de Legendre
- Pede-se resolver em
pelo método de Frobenius e obter duas soluções linearmente independentes (isto é, achar a expansão local em torno de ). - Em seguida há duas perguntas:
(a) o que ocorre nos pontos singulares regulares senão for inteiro?
(b) quais condições sobregarantem que as soluções sejam finitas em ?
As informações relevantes: ponto singular regular em
(pois
em
); devemos construir as soluções locais por Frobenius em torno de
.
Passo 2
Preparando o método de Frobenius e encontrando os expoentes indicial.
- Primeiro, faço a mudança de variável centrando em
. Defino
assim
corresponde a
. Como
vale
- Reescrevo a equação em termos de
. Note que
Substituindo e usando as derivadas em
obtém-se
onde agora as derivadas prim e secund são em relação a
. Simplificando (e lembrando que
) obtemos, organizando em potências de
,
- Método de Frobenius: suponho uma solução da forma
com
o expoente indicial a determinar. Calculo as derivadas (em
):
- Substituo essas séries na equação reorganizada e agrupo os termos em potências de
e . Ao coletar o menor grau de potência (o termo em ) obtem-se a equação indicial
Como
segue a equação indicial
ou seja
com multiplicidade dois (raiz dupla).
Comentário didático curto sobre isso: o indicial determina os expoentes de comportamento das soluções locais
. Aqui a raiz dupla
indica que uma solução começa com termo constante (série regular) e que a segunda solução tipicamente envolverá um termo com
(caso padrão para raiz dupla).
Passo 3
Obtenção da recorrência dos coeficientes (primeira solução por série).
Ao impor que os coeficientes de
se anulem (procedimento padrão), chega-se à relação de recorrência (mostro o passo final direto):
Como aqui
usamos
e obtemos
ou seja
Fatorando o numerador:
portanto a recorrência fica
Assim uma solução local (a primeira solução) é
onde os
são obtidos multiplicando sucessivamente a relação acima (por exemplo
etc.). Em termos de
(lembrando
),
uma série em potências de
que converge num raio positivo em torno de
. Essa solução regular corresponde (até normalização) à função de Legendre
quando estendida.
Explicação importante e útil para a prova: veja no fator da recorrência o produto
. Se
for um inteiro não-negativo, digamos
, então no passo
o fator
zera e portanto
. A recorrência então gera todos os coeficientes posteriores nulos: a série termina e torna-se um polinômio de grau
. Esses polinômios são os polinômios de Legendre
— soluções polinomiais, finitas em
.
Passo 4
Segunda solução: raiz dupla e presença de termo logarítmico.
Quando a equação indicial tem raiz dupla (
duas vezes), o método de Frobenius padrão explica que:
- Há sempre uma solução
dada pela série regular obtida no passo anterior. - Uma segunda solução linearmente independente tem, em geral, a forma
ou seja, contém um termo
. Na prática, essa segunda solução é singular em
(em
) por causa do
. A construção explícita dos coeficientes
exige um processo técnico (método de Frobenius para raiz dupla ou redução de ordem), mas o fato qualitativo que precisamos para a prova é: a segunda solução é, em geral, logarítmica em
e, portanto, não é analítica (nem finita) naquele ponto.
Relacionando com as funções conhecidas: essa segunda solução local é proporcional (localmente) à função de Legendre do segundo tipo
, que tem singularidade logarítmica em
. Para
inteiro existe um fenômeno de cancelamento parcial das constantes e, ainda assim,
apresenta singularidade logarítmica em
.
Resumo prático: em torno de
as duas soluções independentes são
Passo 5
Resposta às perguntas (interpretando os resultados e dando as condições para finitude em
).
(a) Se
não for inteiro: o ponto
(e análogamente
) é um ponto singulare regular onde a igualdade das raízes indicial (raiz dupla
) implica que uma solução é analítica (a série regular
) e a outra solução localmente apresenta um termo
(é logarítmica). Em termos de funções clássicas, para
as duas soluções independentes localmente podem ser tomadas como
(regular em
) e
(que tem singularidade logarítmica em
). Assim, para
não inteiro obtem-se uma solução regular e uma solução singular (logarítmica) no ponto regular singular.
(b) Para garantir que as soluções sejam finitas em todo o intervalo
precisamos exatamente que a solução regular seja, na verdade, um polinômio sem singularidades nos extremos. Pela recorrência vista no Passo 3 isso ocorre quando a série de
truncar — isto acontece se e somente se
for um inteiro não-negativo:
Nesse caso a solução regular torna-se o polinômio de Legendre
de grau
, que é finito (e em particular contínuo) em todo
. Para
não inteiro a segunda solução tem singularidade logarítmica em
e portanto não é finita no intervalo; para
inteiro negativo a situação equivalente não produz novos polinômios de grau não-negativo (os polinômios legítimos são para
).
Resposta
(a) Para
: em
(e
) há uma solução local analítica (série em
) e a segunda solução é, em geral, logarítmica (contém
) — isto é, uma solução é regular e a outra tem singularidade logarítmica (função do tipo
).
(b) As soluções são finitas em todo
exatamente quando
pois então a série de Frobenius trunca e a solução regular é o polinômio de Legendre
, finito em
.