Considere a equação de Legendre:
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+\lambda(\lambda+1) y=0
definida para x \in[-1,1]. Resolva a equação em x_{0}=1 usando o método de Frobenius e encontre duas soluções linearmente independentes. Em seguida:
(a) O que ocorre nos pontos singulares regulares se \lambda não for um número inteiro?
(b) Quais sāo as condições sobre \lambda para garantir que as soluções sejam finitas em x \in[-1,1] ?

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • A equação dada é a equação de Legendre
\left(1-x^{2}\right)y''-2x y'+\lambda(\lambda+1)y=0,\qquad x\in[-1,1].
  • Pede-se resolver em x_{0}=1 pelo método de Frobenius e obter duas soluções linearmente independentes (isto é, achar a expansão local em torno de x=1).
  • Em seguida há duas perguntas:
    (a) o que ocorre nos pontos singulares regulares se \lambda não for inteiro?
    (b) quais condições sobre \lambda garantem que as soluções sejam finitas em x\in[-1,1]?
As informações relevantes: ponto singular regular em x=1 (pois 1-x^{2}=0 em x=\pm1); devemos construir as soluções locais por Frobenius em torno de x=1.

Passo 2

Preparando o método de Frobenius e encontrando os expoentes indicial.
  1. Primeiro, faço a mudança de variável centrando em x=1. Defino
s:=1-x,
assim s=0 corresponde a x=1. Como ds/dx=-1 vale
\frac{dy}{dx}=-\frac{dy}{ds},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d^{2}y}{ds^{2}}.
  1. Reescrevo a equação em termos de s. Note que
1-x^{2}=1-(1-s)^{2}=2s-s^{2}=s(2-s).
Substituindo e usando as derivadas em s obtém-se
s(2-s)y''-2(1-s)(-y')+\lambda(\lambda+1)y=0,
onde agora as derivadas prim e secund são em relação a s. Simplificando (e lembrando que y'=\dfrac{dy}{ds}) obtemos, organizando em potências de s,
2s\,y''-s^{2}y''+2y'-2s\,y'+\lambda(\lambda+1)y=0.
  1. Método de Frobenius: suponho uma solução da forma
y(s)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} s^{n+r},\qquad a_{0}\neq0,
com r o expoente indicial a determinar. Calculo as derivadas (em s):
y'=-\sum_{n=0}^\infty a_n (n+r) s^{n+r-1},\qquad y''=\sum_{n=0}^\infty a_n (n+r)(n+r-1) s^{n+r-2}.
  1. Substituo essas séries na equação reorganizada e agrupo os termos em potências de s^{n+r-1} e s^{n+r}. Ao coletar o menor grau de potência (o termo em s^{r-1}) obtem-se a equação indicial
2 a_{0} r^{2}=0.
Como a_{0}\neq0 segue a equação indicial
r^{2}=0,
ou seja
r=0
com multiplicidade dois (raiz dupla).
Comentário didático curto sobre isso: o indicial determina os expoentes de comportamento das soluções locais s^{r}. Aqui a raiz dupla r=0 indica que uma solução começa com termo constante (série regular) e que a segunda solução tipicamente envolverá um termo com \ln s (caso padrão para raiz dupla).

Passo 3

Obtenção da recorrência dos coeficientes (primeira solução por série).
Ao impor que os coeficientes de s^{n+r} se anulem (procedimento padrão), chega-se à relação de recorrência (mostro o passo final direto):
2 a_{k+1}(k+1+r)^{2}+a_{k}\bigl[-(k+r)(k+r+1)+\lambda(\lambda+1)\bigr]=0.
Como aqui r=0 usamos r=0 e obtemos
2 a_{k+1}(k+1)^{2}+a_{k}\bigl[-k(k+1)+\lambda(\lambda+1)\bigr]=0,
ou seja
a_{k+1}=a_{k}\,\frac{k(k+1)-\lambda(\lambda+1)}{2(k+1)^{2}}.
Fatorando o numerador:
k(k+1)-\lambda(\lambda+1)=(k-\lambda)(k+\lambda+1),
portanto a recorrência fica
\boxed{\,a_{k+1}=a_{k}\,\frac{(k-\lambda)(k+\lambda+1)}{2(k+1)^{2}}\,.}
Assim uma solução local (a primeira solução) é
\boxed{\,y_{1}(s)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{0}\,c_{k}\, s^{k}\,}
onde os c_{k} são obtidos multiplicando sucessivamente a relação acima (por exemplo c_{0}=1,\; c_{1}=\dfrac{(0-\lambda)(0+\lambda+1)}{2\cdot1^{2}}, etc.). Em termos de x (lembrando s=1-x),
y_{1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{0}\,c_{k}\,(1-x)^{k},
uma série em potências de 1-x que converge num raio positivo em torno de x=1. Essa solução regular corresponde (até normalização) à função de Legendre P_{\lambda}(x) quando estendida.
Explicação importante e útil para a prova: veja no fator da recorrência o produto (k-\lambda). Se \lambda for um inteiro não-negativo, digamos \lambda=n\in\{0,1,2,\dots\}, então no passo k=n o fator (k-\lambda) zera e portanto a_{n+1}=0. A recorrência então gera todos os coeficientes posteriores nulos: a série termina e torna-se um polinômio de grau n. Esses polinômios são os polinômios de Legendre P_{n}(x) — soluções polinomiais, finitas em [-1,1].

Passo 4

Segunda solução: raiz dupla e presença de termo logarítmico.
Quando a equação indicial tem raiz dupla ( r=0 duas vezes), o método de Frobenius padrão explica que:
  • Há sempre uma solução y_{1} dada pela série regular obtida no passo anterior.
  • Uma segunda solução linearmente independente tem, em geral, a forma
y_{2}(s)=C\,y_{1}(s)\ln s + s^{0}\sum_{k=0}^{\infty} b_{k} s^{k},
ou seja, contém um termo \ln s=\ln(1-x). Na prática, essa segunda solução é singular em s=0 (em x=1) por causa do \ln s. A construção explícita dos coeficientes b_{k} exige um processo técnico (método de Frobenius para raiz dupla ou redução de ordem), mas o fato qualitativo que precisamos para a prova é: a segunda solução é, em geral, logarítmica em s=0 e, portanto, não é analítica (nem finita) naquele ponto.
Relacionando com as funções conhecidas: essa segunda solução local é proporcional (localmente) à função de Legendre do segundo tipo Q_{\lambda}(x), que tem singularidade logarítmica em x=1. Para \lambda inteiro existe um fenômeno de cancelamento parcial das constantes e, ainda assim, Q_{n} apresenta singularidade logarítmica em x=\pm1.
Resumo prático: em torno de x=1 as duas soluções independentes são
y_{1}(x)=\text{série regular em }(1-x), \qquad y_{2}(x)=y_{1}(x)\ln(1-x)+\text{série regular}.éé

Passo 5

Resposta às perguntas (interpretando os resultados e dando as condições para finitude em [-1,1]).
(a) Se \lambda não for inteiro: o ponto x=1 (e análogamente x=-1) é um ponto singulare regular onde a igualdade das raízes indicial (raiz dupla r=0) implica que uma solução é analítica (a série regular y_{1}) e a outra solução localmente apresenta um termo \ln(1-x) (é logarítmica). Em termos de funções clássicas, para \lambda\notin\mathbb{Z} as duas soluções independentes localmente podem ser tomadas como P_{\lambda}(x) (regular em x=1) e Q_{\lambda}(x) (que tem singularidade logarítmica em x=1). Assim, para \lambda não inteiro obtem-se uma solução regular e uma solução singular (logarítmica) no ponto regular singular.
(b) Para garantir que as soluções sejam finitas em todo o intervalo x\in[-1,1] precisamos exatamente que a solução regular seja, na verdade, um polinômio sem singularidades nos extremos. Pela recorrência vista no Passo 3 isso ocorre quando a série de y_{1} truncar — isto acontece se e somente se \lambda for um inteiro não-negativo:
\boxed{\lambda=n\in\{0,1,2,\dots\}.}
Nesse caso a solução regular torna-se o polinômio de Legendre P_{n}(x) de grau n, que é finito (e em particular contínuo) em todo [-1,1]. Para \lambda não inteiro a segunda solução tem singularidade logarítmica em x=\pm1 e portanto não é finita no intervalo; para \lambda inteiro negativo a situação equivalente não produz novos polinômios de grau não-negativo (os polinômios legítimos são para \lambda=n\ge0).

Resposta

(a) Para \lambda\notin\mathbb{Z}: em x=1 (e x=-1) há uma solução local analítica (série em 1-x) e a segunda solução é, em geral, logarítmica (contém \ln(1-x)) — isto é, uma solução é regular e a outra tem singularidade logarítmica (função do tipo Q_{\lambda}).
(b) As soluções são finitas em todo x\in[-1,1] exatamente quando
\lambda=n\in\{0,1,2,\dots\},
pois então a série de Frobenius trunca e a solução regular é o polinômio de Legendre P_{n}(x), finito em [-1,1].

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