Considere a equação diferencial linear de segunda ordem:
Suponha que
é um ponto singular regular. Podemos reescrever a equação na forma:
onde
e
são funções analíticas em
. Com isso:
(a) Determine o polinômio indicial e suas raízes a partir da forma de Frobenius.
(b) Encontre a solução geral para a série de potências e derive a fórmula de recorrência.
(c) Explique como o procedimento acima demonstra que sempre há pelo menos uma solução na forma de Frobenius.
(a) Determine o polinômio indicial e suas raízes a partir da forma de Frobenius.
(b) Encontre a solução geral para a série de potências e derive a fórmula de recorrência.
(c) Explique como o procedimento acima demonstra que sempre há pelo menos uma solução na forma de Frobenius.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com ponto singular regular
e a reescrita
onde
e
são analíticas em
. O que se pede:
(a) Determinar o polinômio indicial e suas raízes usando a forma de Frobenius.
(b) Encontrar a solução em série de potências (forma de Frobenius) e derivar a fórmula de recorrência para os coeficientes.
(c) Explicar como o procedimento demonstra que sempre existe pelo menos uma solução na forma de Frobenius.
(a) Determinar o polinômio indicial e suas raízes usando a forma de Frobenius.
(b) Encontrar a solução em série de potências (forma de Frobenius) e derivar a fórmula de recorrência para os coeficientes.
(c) Explicar como o procedimento demonstra que sempre existe pelo menos uma solução na forma de Frobenius.
Informações relevantes dadas:
-
e são analíticas em , ou seja há séries de Taylor
válidas numa vizinhança de
.
- O enunciado pede a construção pelo método de Frobenius e a análise de existência de soluções nessa forma.
Passo 2
Escolha do ansatz (forma de Frobenius). Defina
. Procura-se uma solução da forma
onde
é um expoente a determinar. Justificativa rápida (intuitiva): se
é singular regular, a parte singular da equação é de ordens
e
em
; a fatoração
captura o comportamento dominante e a série em potências corrige o restante. Agora calculamos as derivadas necessárias (todas em função de
):
Passo 3
Expansões de
e
. Como
e
são analíticas em
,
onde
e
. Vamos substituir
e essas séries na equação dada.
Passo 4
Substituição e agrupamento por potências de
. Substituindo na equação
obtemos (cada termo recolocado como série em potências de
):
Reindexando as somas (fixando o expoente comum
com
) e agrupando os coeficientes do mesmo monômio
, obtemos a condição de nulidade dos coeficientes:
Escrevendo o termo referente a
separadamente, isso pode ser reescrito como
onde definimos o polinômio indicial generalizado
Passo 5
Obtenção do polinômio indicial e suas raízes (resposta do item (a)). Para
a condição fica
Como
por hipótese no ansatz de Frobenius, é necessário e suficiente que
Esse é o polinômio indicial. Suas raízes
(chamadas normalmente
e
) são as soluções da equação quadrática acima; explicitamente,
(Aqui
e
.)
Passo 6
Fórmula de recorrência (resposta do item (b), derivação explícita). Para
isolamos
da relação obtida:
Portanto, sempre que
podemos escrever
Essa é a fórmula de recorrência que permite determinar
a partir de
. Assim uma solução de Frobenius associada a uma raiz
do polinômio indicial é
Observações práticas para aplicar a recorrência na prova:
- Primeiro calcule
(coeficientes de Taylor de e ) até a ordem necessária. - Escolha uma raiz
do polinômio indicial e tome (geralmente para normalizar). - Use a fórmula de recorrência para calcular
sucessivamente. - O raio de convergência da série coincide pelo menos com a distância até a singularidade mais próxima de
ou .
Também vale lembrar os três casos clássicos para a forma da solução geral:
- Se
e são distintos e sua diferença não é inteiro, então existem duas soluções independentes de Frobenius correspondendo a e ; a solução geral é combinação linear dessas duas séries. - Se
e são iguais (raiz dupla) ou diferem por um inteiro não-nulo, a segunda solução independente pode envolver termos em . O método da redução de ordem ou uma análise refinada da recorrência dá a forma do termo logarítmico. (Na prova normalmente basta reconhecer que o segundo membro pode precisar de .)
Passo 7
Por que sempre existe pelo menos uma solução de Frobenius (resposta do item (c)). Argumento construtivo e simples:
- O polinômio indicial
é quadrático, logo tem duas raízes complexas (contadas com multiplicidade) e . Ordene-as de modo que seja a maior (se forem iguais, ). - Se escolhermos
, então para todo temos e também (porque , logo e não pode igualar um inteiro positivo ). Portanto para todo . - Com
para todos os , a fórmula de recorrência do Passo 6 expressa cada de forma única em função de . Tomando obtemos uma sequência bem definida e, assim, uma série de potências que fornece uma solução . - Caso
(raiz dupla) o mesmo argumento vale: para , logo a recorrência constrói a série. Quando é um inteiro positivo, a escolha do maior evita ressonância nos denominadores, garantindo novamente a construção direta da série. - Conclusão: escolhendo a raiz maior do polinômio indicial (ou, em caso de raiz dupla, essa raiz), a recorrência nunca encontra um denominador nulo para
e, assim, sempre se constrói explicitamente uma solução de Frobenius. Logo há sempre pelo menos uma solução na forma de Frobenius.
Resposta
(a)
. As raízes são
com
,
.
(b) Uma solução de Frobenius associada a uma raiz
é
com recorrência para
ou seja
(c) Tomando
igual à raiz maior do polinômio indicial (ou a raiz dupla, caso ocorrendo), tem-se
para todo
, então a recorrência determina unicamente todos os
a partir de
. Assim constrói-se sempre uma série de Frobenius, provando que existe pelo menos uma solução nessa forma.