Considere a equação congruência linear 58 X equiv 290(bmod 87).
Determine todas as soluções conguentes da equação.

Passo 1

Beleza, temos a congruência linear
58X equiv 290 ;(bmod;87)
O conteúdo aqui é “congruência linear” e a gente vai precisar de duas coisas básicas:
1) Calcular o gcd (o máximo divisor comum) entre 58 e 87.
2) Verificar se esse gcd divide o termo independente (290).
3) Se tudo der certo, dividir tudo por esse gcd e achar o inverso multiplicativo para resolver no módulo reduzido.

Passo 2

Vamos achar gcd(58,87).
  • 87 = 58·1 + 29
  • 58 = 29·2 + 0
    Logo, gcd(58,87) = 29.

Passo 3

Precisamos checar se 29 divide 290.
290 div 29 = 10
Como deu inteiro, a congruência tem solução.

Passo 4

Agora dividimos tudo por 29 para simplificar:
  • 58/29 = 2
  • 87/29 = 3
  • 290/29 = 10
    Isso transforma
58X equiv 290 ;(bmod;87)
em
2X equiv 10 ;(bmod;3)

Passo 5

Na congruência 2X equiv 10 ;(bmod;3), a gente pode reduzir o 10 módulo 3:
10 equiv 1 ;(bmod;3)
então fica
2X equiv 1 ;(bmod;3)
Agora precisamos do inverso de 2 módulo 3. Como 2cdot2 = 4 equiv 1;(bmod3), o inverso de 2 é 2. Multiplicando ambos os lados por 2:
X equiv 2cdot1 = 2 ;(bmod;3)

Passo 6

Voltando ao módulo original (87), sabemos que há exatamente 29 soluções distintas (pois gcd=29) e elas são dadas por
X = 2 + 3k, k=0,1,2,dots,28

Resposta

Todas as soluções da congruência 58Xequiv290pmod87 são
boxedX equiv 2 ;(bmod;3), isto é X = 2 + 3k,;k=0,1,dots,28é

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