Detrermine o resto da divisão de
por 7 .
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente descobrir qual é o resto da divisão de
por 7. Esse assunto faz parte de aritmética modular (ou restos de divisão) e a gente vai precisar entender como funcionam as potências em módulo, identificar padrões e usar congruências pra não ter que calcular esse número gigantesco na unha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é “resto da divisão” e “congruência”:
- Quando a gente diz que um número
deixa resto ao dividir por , escrevemos . - Ou seja,
para algum inteiro e .
No nosso caso, queremos.
Passo 3
Em vez de calcular
diretamente, a gente nota que as potências de 2 em módulo 7 formam um padrão (ciclo). Vamos ver alguns valores:
-
-
-
-
E aí já deu pra ver que depois de 3 potências a coisa repete: 2, 4, 1, 2, 4, 1, …
Passo 4
Esse ciclo de resto tem comprimento 3. Ou seja:
Para achar
, basta ver onde o 50 cai nesse ciclo de comprimento 3. A gente calcula:
Isso significa que
está na mesma posição do ciclo que
.
Passo 5
E a gente já viu que:
Logo, o resto da divisão de
por 7 é 4.
Resposta
O resto da divisão de
por 7 é 4.