Detrermine o resto da divisão de 2^50 por 7 .

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente descobrir qual é o resto da divisão de por 7. Esse assunto faz parte de aritmética modular (ou restos de divisão) e a gente vai precisar entender como funcionam as potências em módulo, identificar padrões e usar congruências pra não ter que calcular esse número gigantesco na unha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é “resto da divisão” e “congruência”:
  • Quando a gente diz que um número deixa resto ao dividir por , escrevemos .
  • Ou seja, para algum inteiro e .
    No nosso caso, queremos .

Passo 3

Em vez de calcular diretamente, a gente nota que as potências de 2 em módulo 7 formam um padrão (ciclo). Vamos ver alguns valores:

  • E aí já deu pra ver que depois de 3 potências a coisa repete: 2, 4, 1, 2, 4, 1, …

Passo 4

Esse ciclo de resto tem comprimento 3. Ou seja:
2^n bmod 7 vai repetir os valores [2,4,1] para n = 1,2,3,4,5,6,dots
Para achar 50 bmod 3 = 50 - 3cdotlfloor 50/3rfloor = 50 - 3cdot16 = 50 - 48 = 2 , basta ver onde o 50 cai nesse ciclo de comprimento 3. A gente calcula:
Isso significa que está na mesma posição do ciclo que .

Passo 5

E a gente já viu que:
2^2 equiv 4 pmod 7
Logo, o resto da divisão de por 7 é 4.

Resposta

O resto da divisão de por 7 é 4.

Exercícios relacionados