Resolva as congruências lineares:
2 x equiv 1(bmod 17).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. A questão é sobre congruências lineares, mais especificamente a congruência
2x equiv 1 pmod17
Isso faz parte de Teoria dos Números, e o que a gente precisa saber é:
  • O que significa uma congruência linear.
  • Que para resolver a gente geralmente procura o inverso de módulo , desde que .

Passo 2

Primeiro, verifica se dá para achar inverso de módulo . A condição é .
  • é o maior divisor comum de e .
  • Como é primo e não divide , temos .
    Logo, o inverso de mod existe.

Passo 3

Agora vamos achar esse inverso de 2y equiv 1 pmod17 módulo 2 times 9 = 18 equiv 1 pmod17. Em palavras simples, queremos um número tal que
Testando alguns valores (ou usando o algoritmo de Euclides estendido), a gente vê que:
Portanto, o inverso de modulo é .

Passo 4

Tendo o inverso 9 cdot (2x) equiv 9 cdot 1 pmod17 Longrightarrow (9cdot 2),x equiv 9 pmod17 Longrightarrow 1cdot x equiv 9 pmod17 , multiplicamos os dois lados da congruência original por :
Repare que , então sobra .

Resposta

x equiv 9 pmod17

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