Considere a equação congruência linear 58 X equiv 290(bmod 87).
Encontre todas as soluções inconguentes.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa resolver a congruência linear
58X equiv 290 pmod87
Conteúdo envolvido: teoria de congruências lineares, cálculo de (máximo divisor comum), condição de existência, redução da congruência e inverso modular. Vamos usar o algoritmo de Euclides, dividir toda a congruência pelo e achar o inverso.

Passo 2

Calcular pelo algoritmo de Euclides:
87 = 58·1 + 29
58 = 29·2 + 0
Logo, .

Passo 3

Condição de existência: a congruência tem solução se, e só se, divide .
Como é inteiro, existem soluções.

Passo 4

Dividimos tudo por 29 para simplificar:
5829X equiv 29029pmod8729 Longrightarrow 2X equiv 10 pmod3
Reduzindo 2X equiv 1 pmod3 X equiv 2cdot1 equiv 2 pmod3 . Então
Precisamos do inverso de módulo . Testando, , logo . Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 5

A solução geral da congruência reduzida é
X = 2 + 3k, kinZ
Como estamos trabalhando módulo , e dividimos por , aparecem soluções incongruentes no intervalo de a , correspondendo a .

Resposta

As soluções incongruentes de
58X equiv 290 pmod87
são
,2 + 3k mid k = 0,1,2,dots,28,
ou seja,
2,,5,,8,,11,,dots,,86

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