Nos Exercícios de 1 a 4, use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada, sujeitos aos vínculos dados.
f(x, y)=25-x^2-y^2 com vínculo x^2+y^2-4 y=0

Passo 1

Beleza, távamos resolver o seguinte problema:
Encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=25-x^2-y^2
sujeita ao vínculo
g(x,y)=x^2+y^2-4y=0
Esse é um exercício de multiplicadores de Lagrange, que é a técnica pra otimizar (máximo ou mínimo) uma função quando as variáveis têm que obedecer a uma “restrição” . A gente vai precisar:
  1. Montar o lagrangiano .
  2. Calcular , e .
  3. Resolver o sistema que surge pra achar .

Passo 2

Montando o Lagrangiano:
L(x,y,lambda) =25 - x^2 - y^2 - lambda,(x^2 + y^2 -4y)
Agora calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
  1. que é justamente o vínculo.

Passo 3

Da equação temos dois cenários:
a) .
b) .
Vamos primeiro em .
  • O vínculo vira , ou seja .
    • Se :
      • Do segundo .
      • Então um candidato é .
    • Se :
      • De .
      • Então outro candidato é .

Passo 4

Agora testamos :
  • A equação em fica , impossível.
    Logo não há ponto novo nesse caso.

Passo 5

A gente achou só dois candidatos:
(0,0)e(0,4)
Se quiser classificar, avalia :
  • (máximo).
  • (mínimo relativo, nesse círculo).

Resposta

Os pontos críticos da função (0,0)e(0,4) sujeita a são

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