Nos Exercícios de 1 a 4, use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada, sujeitos aos vínculos dados.
com vínculo
Passo 1
Beleza, távamos resolver o seguinte problema:
Encontrar os pontos críticos da função
Encontrar os pontos críticos da função
sujeita ao vínculo
Esse é um exercício de multiplicadores de Lagrange, que é a técnica pra otimizar (máximo ou mínimo) uma função
quando as variáveis têm que obedecer a uma “restrição”
. A gente vai precisar:
- Montar o lagrangiano
. - Calcular
, e . - Resolver o sistema que surge pra achar
.
Passo 2
Montando o Lagrangiano:
Agora calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
-
-
-
que é justamente o vínculo.
Passo 3
Da equação
temos dois cenários:
a) .
b) .
a)
b)
Vamos primeiro em
.
- O vínculo vira
, ou seja . - Se
: - Do segundo
⇒ . - Então um candidato é
.
- Do segundo
- Se
: - De
⇒ . - Então outro candidato é
.
- De
- Se
Passo 4
Agora testamos
:
- A equação em
fica , impossível.
Logo não há ponto novo nesse caso.
Passo 5
A gente achou só dois candidatos:
Se quiser classificar, avalia
:
-
(máximo). -
(mínimo relativo, nesse círculo).
Resposta
Os pontos críticos da função
sujeita a
são