Considere a equação 2 cos (x)-(1 / 2) e^x=0. Calcule 3 iterações para aproximar a raíz positiva usando os métodos da bissecção e posição falsa com intervalo inicial [0,1]. Compare os resultados.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz positiva da função
f(x) = 2cos(x) - tfrac12 e^x
no intervalo inicial [0,1] usando 3 iterações pelos métodos da bissecção e da posição falsa. Vamos precisar:
– Avaliar f(x) nos extremos e nos pontos gerados pelas iterações.
– Aplicar o critério de troca de intervalo conforme o sinal de f.

Passo 2

Verificamos o sinal nos extremos:
f(0) = 2cos(0) - tfrac12 e^0 = 2cdot1 - tfrac12cdot1 = 2 - 0,5 = 1,5 > 0,
f(1) = 2cos(1) - tfrac12 e^1 approx 2cdot0,5403 - 0,5cdot2,7183 = 1,0806 - 1,3591 = -0,2785 < 0
Logo há mudança de sinal em [0,1] e existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Aplicando bissecção:
1) c1 = tfrac0+12 = 0,5.
f(0,5) = 2cos(0,5) - tfrac12 e^0,5 approx 2cdot0,8776 - 0,5cdot1,6487 = 1,7552 - 0,8244 = 0,9308 > 0
Como f(c1)>0, novo intervalo é [0,5,;1].
2) c2 = tfrac0,5+12 = 0,75.
f(0,75) approx 2cdot0,7317 - 0,5cdot2,1170 = 1,4634 - 1,0585 = 0,4049 > 0,
intervalo to [0,75,;1].
3) c3 = tfrac0,75+12 = 0,875.
f(0,875) approx 2cdot0,6402 - 0,5cdot2,3989 = 1,2804 - 1,1994 = 0,0810 > 0,
intervalo final to [0,875,;1].
Após 3 iterações, a aproximação pela bissecção é
xbis approx 0,875

Passo 4

Aplicando posição falsa:
Definimos inicialmente x0=0, f0=1,5, x1=1, f1=-0,2785.
1)
c1 = x0,f1 - x1,f0f1 - f0 = 0cdot(-0,2785) - 1cdot1,5-0,2785 - 1,5 = -1,5-1,7785 approx 0,8436
f(0,8436)approx 2cdot0,6668 - 0,5cdot2,3243 = 1,3336 - 1,1621 = 0,1715 > 0
Troca-se o extremo esquerdo: [0,8436,;1].
2)
c2 = 0,8436cdot(-0,2785) - 1cdot0,1715-0,2785 - 0,1715 approx -0,2349 - 0,1715-0,45 = 0,9031,
f(0,9031)approx 2cdot0,6188 - 0,5cdot2,4673 = 1,2376 - 1,2337 = 0,0039 > 0
Intervalo to [0,9031,;1].
3)
c3 = 0,9031cdot(-0,2785) - 1cdot0,0039-0,2785 - 0,0039 approx -0,2515 - 0,0039-0,2824 = 0,9046,
f(0,9046)approx 2cdot0,6179 - 0,5cdot2,4697 = 1,2358 - 1,2349 = 0,0009 > 0
Após 3 iterações, obtemos
xpos falsa approx 0,9046

Passo 5

Comparando as duas aproximações após 3 iterações:
Bissecção: xbisapprox 0,875.
Posição falsa: xpos falsaapprox 0,9046.
Como a raiz exata está em torno de 0,9075, o método da posição falsa dá um valor bem mais próximo em apenas 3 iterações, mostrando convergência mais rápida que a bissecção.

Resposta

Bissecção ( 3 iterações): xapprox 0,875
Posição falsa ( 3 iterações): xapprox 0,9046

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