Considere a função f(x)=raizx-4 e^-x. Dentre os intervalos a seguir, marque aquele que contém o único zero da função indicada.
(a) (0,1)
(b) (1,2)
(c) (2,3)
(d) (2,4)

Passo 1

O enunciado pede o zero único da função
f(x)=raizx-4e^-x
e nos dá quatro opções de intervalo. O conteúdo envolve continuidade, Teorema do Valor Intermediário e monotonicidade.

Passo 2

Observamos que raizx e e^-x são contínuas em [0,infty), logo f é contínua nesse domínio. Além disso, a derivada é
f'(x)=12raizx+4e^-x,
que é sempre positiva para x>0. Assim, f é estritamente crescente em (0,infty).

Passo 3

Como f é crescente, basta achar um ponto onde muda de sinal. Calculamos
f(1)=1-4e^-1approx 1-4cdot0,3679approx -0,47<0,
f(2)=raiz2-4e^-2approx1,4142-4cdot0,1353approx0,87>0
Há, portanto, mudança de sinal entre x=1 e x=2.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário e pela monotonicidade, existe exatamente um zero de f em (1,2).

Resposta

(b) (1,2)

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