(2 ptos) Assinale
para verdadeiro ou
para falso, justificando brevemente os itens Falso:
( ) A matriz Jacobiana no método de Newton deve ser calculada apenas uma vez, no ponto inicial.
( ) O método dos mínimos quadrados para ajuste linear garante que o polinômio passe exatamente pelos pontos dados.
( ) A interpolação polinomial de grau
, usando
pontos, sempre passa por todos os pontos dados.
( ) O método de Lagrange permite construir o polinômio interpolador sem resolver um sistema linear.
( ) No método de Newton para sistemas não lineares, a escolha de um ponto inicial distante da raiz pode impedir a convergência do método.
( ) A matriz Jacobiana no método de Newton deve ser calculada apenas uma vez, no ponto inicial.
( ) O método dos mínimos quadrados para ajuste linear garante que o polinômio passe exatamente pelos pontos dados.
( ) A interpolação polinomial de grau
( ) O método de Lagrange permite construir o polinômio interpolador sem resolver um sistema linear.
( ) No método de Newton para sistemas não lineares, a escolha de um ponto inicial distante da raiz pode impedir a convergência do método.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações que devem ser marcadas como verdadeiras (
) ou falsas (
), pedindo justificativa breve apenas para os itens falsos. O conteúdo envolve método de Newton para sistemas, mínimos quadrados, interpolação polinomial e fórmula de Lagrange.
Passo 2
A afirmação “A matriz Jacobiana no método de Newton deve ser calculada apenas uma vez, no ponto inicial.” é falsa. No método de Newton padrão para sistemas não lineares, em cada iteração recalcula-se a Jacobiana em torno do ponto atual para garantir a convergência quadrática. Calcular a Jacobiana apenas uma vez transformaria o método em uma variante (método de Newton modificado) que perde a rapidez de convergência.
Passo 3
A afirmação “O método dos mínimos quadrados para ajuste linear garante que o polinômio passe exatamente pelos pontos dados.” é falsa. O método dos mínimos quadrados minimiza o erro quadrático total entre os pontos e a curva ajustada, mas não exige que todos os pontos sejam interpolados exatamente. Ele fornece uma aproximação ótima em sentido de erro médio.
Passo 4
A afirmação “A interpolação polinomial de grau
, usando
pontos, sempre passa por todos os pontos dados.” é verdadeira, pois existe um polinômio único de grau no máximo
que interpola exatamente
pontos com abscissas distintas.
Passo 5
A afirmação “O método de Lagrange permite construir o polinômio interpolador sem resolver um sistema linear.” é verdadeira, já que a fórmula de Lagrange fornece diretamente o polinômio interpolador como soma de termos base, sem montar nem solucionar matrizes.
Passo 6
A afirmação “No método de Newton para sistemas não lineares, a escolha de um ponto inicial distante da raiz pode impedir a convergência do método.” é verdadeira, porque o método de Newton requer um ponto inicial suficientemente próximo da solução para que as aproximações lineares locais sejam válidas.