Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que .
Calcule uma das soluções com erro menor que usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza, o problema pede para a gente:
Localizar (e isolar) as raízes da equação
Para uma delas (vamos pegar a que fica em ), usar o método da bissecção e achar quantas iterações são necessárias para garantir erro menor que .
Ainda nessa mesma raiz, obter uma aproximação com erro menor que usando os métodos que vimos (bissecção e Newton, por exemplo) e comparar quantas iterações cada um leva.
Conteúdo usado: localização de raízes por mudança de sinal, fórmula de iterações para bissecção, método de Newton (derivada e iteração), controle de erro.
Passo 2
Localizando e isolando as raízes
Avalia em alguns pontos:
→ muda de sinal em , tem raiz aí.
→ muda de sinal em , tem raiz aí.
→ muda de sinal em , tem raiz aí.
Logo temos três raízes reais, isoladas nos intervalos , e .
Passo 3
Número de iterações da bissecção para erro em
No método da bissecção o tamanho do intervalo após iterações é
Aqui , e , então
Como tem que ser inteiro, precisamos de
Passo 4
Aproximação com erro pelo método da bissecção
Agora queremos , daí
ou seja, iterações garantem erro menor que .
A raiz aproximada depois de 20 iterações é
com .
Passo 5
Aproximação com erro xn+1 = xn - f(xn)f'(xn), f'(x)=3x^2-5 pelo método de Newton
Fórmula de Newton:
Escolhendo (o centro de ):
e aí .
Newton convergiu em 4 iterações para erro abaixo de .
Resposta
Raízes isoladas em , e .
Bissecção com erro : 14 iterações.
Para erro :
• Bissecção → 20 iterações, raiz ≈ 0.0200016
• Newton → 4 iterações, raiz ≈ 0.0200016001