Considere a equação x^3-5 x+0,1=0.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza, o problema pede para a gente:
  1. Localizar (e isolar) as raízes da equação f(x)=x^3-5x+0.1=0
  2. Para uma delas (vamos pegar a que fica em ), usar o método da bissecção e achar quantas iterações são necessárias para garantir erro menor que .
  3. Ainda nessa mesma raiz, obter uma aproximação com erro menor que usando os métodos que vimos (bissecção e Newton, por exemplo) e comparar quantas iterações cada um leva.
Conteúdo usado: localização de raízes por mudança de sinal, fórmula de iterações para bissecção, método de Newton (derivada e iteração), controle de erro.

Passo 2

Localizando e isolando as raízes
  1. Avalia em alguns pontos:

    • → muda de sinal em , tem raiz aí.

    • → muda de sinal em , tem raiz aí.

    • → muda de sinal em , tem raiz aí.
Logo temos três raízes reais, isoladas nos intervalos
, e .

Passo 3

Número de iterações da bissecção para erro b-a2^N em 1-02^N<10^-4 Longrightarrow 2^N>10^4 Longrightarrow N>4ln(10)ln(2)approx13.3
No método da bissecção o tamanho do intervalo após N=14 iterações iterações é
Aqui , e , então
Como tem que ser inteiro, precisamos de
çõ

Passo 4

Aproximação com erro 2^N>10^6 Longrightarrow N>6ln(10)ln(2)approx19.9 pelo método da bissecção
Agora queremos xapprox0.0200016 , daí
ou seja, iterações garantem erro menor que .
A raiz aproximada depois de 20 iterações é
com .

Passo 5

Aproximação com erro xn+1 = xn - f(xn)f'(xn), f'(x)=3x^2-5 pelo método de Newton
Fórmula de Newton:
Escolhendo (o centro de ):
  1. e aí .
Newton convergiu em 4 iterações para erro abaixo de .

Resposta

  • Raízes isoladas em , e .
  • Bissecção com erro : 14 iterações.
  • Para erro :
    • Bissecção → 20 iterações, raiz ≈ 0.0200016
    • Newton → 4 iterações, raiz ≈ 0.0200016001

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