Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem que resolver a equação
.
O assunto é Métodos Numéricos de Equações Não‐Lineares:
O assunto é Métodos Numéricos de Equações Não‐Lineares:
- Usar o Teorema de Bolzano para achar onde está a raiz.
- Empregar o método da Bissecção para ter uma aproximação com erro controlado (
e depois ). - Usar também o Método de Newton (que envolve derivada) para comparar quantas iterações cada método precisa até
.
Para isso precisamos:
- Saber que
é contínua; - Teorema de Bolzano (se
e então existe raiz em ); - Fórmula do número de iterações na bissecção:
- Método de Newton:
Passo 2
Localizar/Isolar a raiz
- Calculo
e . - Como
e , por Bolzano existe pelo menos uma raiz em . -
em , então a função é monótona crescente ali e há só UMA raiz real nesse intervalo.
Passo 3
Número de iterações da Bissecção para erro
Queremos .
Logo
Queremos
Logo
Arredondando para cima, precisamos de
iterações para garantir erro menor que
.
Passo 4
Bissecção para erro
Agora ,
Agora
Então são
iterações para obter erro abaixo de
.
Depois de 20 iterações, o ponto médio final dá aproximadamente
Depois de 20 iterações, o ponto médio final dá aproximadamente
Passo 5
Método de Newton para erro
- Escolhi
(meio do intervalo). - Itero
Vamos ver as primeiras iterações (arredondadas a 6 casas):
A diferença
já na 6ª iteração. Então Newton precisou de 6 iterações para chegar ao mesmo patamar de precisão de
.
Resposta
- Raiz localizada em
, exatamente em . - Bissecção:
• Para erro: 14 iterações.
• Para erro: 20 iterações. - Newton:
• Para erro: 6 iterações.
Conclusão: embora a bissecção seja garantida, o Método de Newton alcança a precisão desejada bem mais rápido (6 vs. 20 iterações).