Considere a equação x^5-x-2=0.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que resolver a equação
b-a2^n<=varepsilon;Longrightarrow;n>=log2b-avarepsilon .
O assunto é Métodos Numéricos de Equações Não‐Lineares:
  • Usar o Teorema de Bolzano para achar onde está a raiz.
  • Empregar o método da Bissecção para ter uma aproximação com erro controlado ( xk+1=xk-f(xk)f'(xk), f'(x)=5x^4-1 e depois ).
  • Usar também o Método de Newton (que envolve derivada) para comparar quantas iterações cada método precisa até .
Para isso precisamos:
  1. Saber que é contínua;
  2. Teorema de Bolzano (se e então existe raiz em );
  3. Fórmula do número de iterações na bissecção:
  1. Método de Newton:

Passo 2

Localizar/Isolar a raiz
  1. Calculo e .
  2. Como e , por Bolzano existe pelo menos uma raiz em .
  3. em , então a função é monótona crescente ali e há só UMA raiz real nesse intervalo.

Passo 3

Número de iterações da Bissecção para erro 2^n>=10^4 Longrightarrow n>=log2(10^4)approx13,29
Queremos n=14 .
Logo
Arredondando para cima, precisamos de
iterações para garantir erro menor que .

Passo 4

Bissecção para erro 2^n>=10^6 Longrightarrow n>=log2(10^6)approx19,93
Agora n=20 ,
xrm bisapprox1,267103
Então são
iterações para obter erro abaixo de .
Depois de 20 iterações, o ponto médio final dá aproximadamente

Passo 5

Método de Newton para erro xk+1=xk-xk^5-xk-25xk^4-1
  1. Escolhi (meio do intervalo).
  2. Itero
Vamos ver as primeiras iterações (arredondadas a 6 casas):
A diferença já na 6ª iteração. Então Newton precisou de 6 iterações para chegar ao mesmo patamar de precisão de .

Resposta

  • Raiz localizada em , exatamente em .
  • Bissecção:
    • Para erro : 14 iterações.
    • Para erro : 20 iterações.
  • Newton:
    • Para erro : 6 iterações.
    Conclusão: embora a bissecção seja garantida, o Método de Newton alcança a precisão desejada bem mais rápido (6 vs. 20 iterações).

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