Considere a equação
. Verifique que a solução da equação acima é ponto fixo das seguintes funções:
(a)
;
(b)
.
Use o Teorema do Ponto Fixo para verificar que a sequência
, com
e
converge para a solução da equação nos dois casos acima. Observe o comportamento numérico dessas sequências. Qual estabiliza mais rápido com quatro casas decimais? Discuta.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede:
- Verificar que a solução dessa equação é ponto fixo das funções
- (a)
; - (b)
.
- (a)
- Usar o Teorema do Ponto Fixo (contratação de Banach) para verificar que a sequência
com e converge para a solução nos dois casos. - Observar numericamente o comportamento das duas sequências e dizer qual estabiliza mais rápido com quatro casas decimais.
Informações relevantes dadas:
- Funções:
e . - Valor inicial:
. - Queremos convergência para a solução de
e comparar rapidez de convergência até 4 casas decimais.
Passo 2
Verificação trivial de ponto fixo: se
resolve
então:
- Para
: . Portanto qualquer solução de é ponto fixo de . - Para
: . Portanto a solução de é também ponto fixo de .
Passo 3
Enunciado do Teorema do Ponto Fixo (Banach), em forma prática:
- Se uma função
é uma contração num intervalo fechado (isto é, existe com para todos ) e , então existe um único ponto fixo e, para qualquer , a iteração converge para . Além disso a convergência é (no máximo) linear com fator .
Para aplicar, o caminho prático: mostrar que
em um intervalo contendo a solução e que
leva esse intervalo em si.
Passo 4
Escolhemos o intervalo
. Observação: a solução de
está em
(conhecida numericamente ≈
), e
.
Verificação para
:
- Derivada:
. - Para
tem-se . Logo podemos tomar - Imagem: para
tem , e . Logo . - Conclusão:
é contração em com constante , e leva o intervalo em si. Pelo Teorema de Banach existe um único ponto fixo em e a iteração com converge para esse ponto fixo.
Passo 5
Verificação para
:
- Derivada:
. - Para
temos , logo Numericamente . Assim Tomamos . - Imagem: para
e , Numericamente . Então . - Conclusão:
é contração em com constante , e ; pelo Teorema de Banach existe um único ponto fixo em e a iteração com converge para esse ponto fixo.
Passo 6
Resumo teórico-prático sobre convergência e velocidade:
- Ambos
e satisfazem as hipóteses do Teorema do Ponto Fixo em . Portanto as iterações a partir de convergem para o único ponto fixo comum que é solução de . - Constantes de contração (globais no intervalo escolhido):
Em geral uma constante menor significa convergência linear mais rápida (erro decresce como aproximadamente ). - Derivadas no ponto fixo
controlam a taxa local de convergência: calcular e : Usando o valor conhecido (a solução de ): então
- Interpretação: localmente
tem derivada muito próxima de zero no ponto fixo, logo a convergência local é extremamente rápida (redução do erro por fator ≈ por iteração, linear muito forte), enquanto reduz o erro por fator ≈ por iteração — bem mais lento.
Passo 7
Cálculo numérico das iterações (observação: os cálculos a seguir usam aproximações numéricas suficientes para observar o comportamento e a estabilização em 4 casas decimais).
Iterações para
com
:
Observação do comportamento: a sequência oscila ao redor de
com amplitude decrescente; a convergência é relativamente lenta — são necessárias várias (duas ou três dezenas) de iterações até a aproximação estabilizar nas quatro casas decimais.
Usando o critério de arredondamento a quatro casas decimais (ou seja, obter
ao arredondar), observa-se empiricamente que em torno de
–
as iterações de
já rondam a casa
(porém a sequência ainda oscila, demorando várias iterações para ficar firmemente com as mesmas quatro casas). O limite teórico a partir da estimativa grosseira pelo Teorema de Banach (usando
e a desigualdade de erro global) dá uma estimativa conservadora maior (algumas dezenas de iterações; uma conta direta do tipo
leva a
da ordem de 60), porém a observação prática mostra convergência útil já por volta de 20 iterações.
Passo 8
Iterações para
com
:
Observação do comportamento: a sequência aproxima-se muito rapidamente de
. Já em
a aproximação é
que, arredondando a quatro casas decimais, dá
. Em
a aproximação está estável e muito próxima do valor verdadeiro
.
Passo 9
Discussão comparativa e interpretação:
- Teoria:
tem constante de contração global e derivada no ponto fixo com módulo aproximadamente . tem e . Portanto teoricamente deve convergir muito mais rápido (fator de contração muito menor). - Observação numérica confirma: com
, a iteração de já fornece, a partir de , um valor que arredonda para (quatro casas decimais). A iteração de precisa de muitas iterações (na prática várias dezenas; empiricamente por volta de – já se obtêm valores arredondando para , mas a sequência ainda oscila um pouco). - Conclusão:
estabiliza muito mais rápido com quatro casas decimais do que . Isso decorre do fato de que foi “misturada” com o fator em (puxando a derivada no fixo para perto de zero), acelerando a convergência.
Resposta
(a) Sim: a solução de
é ponto fixo de
e de
.
(b) Em ambos os casos a sequência com
converge para a solução única
(aplicando o Teorema do Ponto Fixo em
; constantes de contração
e
).
(c) A iteração com estabiliza muito mais rápido: empiricamente atinge as quatro casas decimais (
) já em
; a iteração com
requer muitas iterações (na prática da ordem de dezenas, por exemplo
–
para observar estabilidade nas quatro casas, embora a estimativa teórica conservadora dê um
ainda maior).
(b) Em ambos os casos a sequência
(c) A iteração com