Considere a equação \cos (x)=x. Verifique que a solução da equação acima é ponto fixo das seguintes funções:
(a) g_{1}(x)=\cos (x);
(b) g_{2}(x)=0,4 x+0,6 \cos (x).
Use o Teorema do Ponto Fixo para verificar que a sequência \left\{x_{n}\right\}_{n \geq 0}, com x_{0}=0,5 e x_{n+1}= g\left(x_{n}\right) converge para a solução da equação nos dois casos acima. Observe o comportamento numérico dessas sequências. Qual estabiliza mais rápido com quatro casas decimais? Discuta.

Passo 1

O enunciado dá a equação \cos(x)=x e pede:
  • Verificar que a solução dessa equação é ponto fixo das funções
    • (a) g_{1}(x)=\cos(x);
    • (b) g_{2}(x)=0,4x+0,6\cos(x).
  • Usar o Teorema do Ponto Fixo (contratação de Banach) para verificar que a sequência \{x_n\}_{n\ge0} com x_0=0,5 e x_{n+1}=g(x_n) converge para a solução nos dois casos.
  • Observar numericamente o comportamento das duas sequências e dizer qual estabiliza mais rápido com quatro casas decimais.
Informações relevantes dadas:
  • Funções: g_{1}(x)=\cos(x) e g_{2}(x)=0,4x+0,6\cos(x).
  • Valor inicial: x_0=0,5.
  • Queremos convergência para a solução de \cos(x)=x e comparar rapidez de convergência até 4 casas decimais.

Passo 2

Verificação trivial de ponto fixo: se x resolve \cos(x)=x então:
  • Para g_{1}: g_{1}(x)=\cos(x)=x. Portanto qualquer solução de \cos(x)=x é ponto fixo de g_{1}.
  • Para g_{2}: g_{2}(x)=0,4x+0,6\cos(x)=0,4x+0,6x= (0,4+0,6)x = x. Portanto a solução de \cos(x)=x é também ponto fixo de g_{2}.

Passo 3

Enunciado do Teorema do Ponto Fixo (Banach), em forma prática:
  • Se uma função g é uma contração num intervalo fechado I (isto é, existe L\in[0,1) com |g(x)-g(y)|\le L|x-y| para todos x,y\in I) e g(I)\subset I, então existe um único ponto fixo x^*\in I e, para qualquer x_0\in I, a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge para x^*. Além disso a convergência é (no máximo) linear com fator L.
Para aplicar, o caminho prático: mostrar que |g'(x)|\le L<1 em um intervalo contendo a solução e que g leva esse intervalo em si.

Passo 4

Escolhemos o intervalo I=[0,1]. Observação: a solução de \cos(x)=x está em (0,1) (conhecida numericamente ≈ 0,739085), e x_0=0,5\in[0,1].
Verificação para g_{1}:
  • Derivada: g_{1}'(x)=-\sin(x).
  • Para x\in[0,1] tem-se |g_{1}'(x)|=|\sin(x)|\le\sin(1). Logo podemos tomar L_1=\sin(1)\approx 0,8414709848<1.
  • Imagem: para x\in[0,1] tem \cos(x)\in[\cos(1),1], e \cos(1)\approx0,5403023059. Logo g_{1}([0,1])\subset[\cos(1),1]\subset[0,1].
  • Conclusão: g_{1} é contração em [0,1] com constante L_1=\sin(1), e leva o intervalo em si. Pelo Teorema de Banach existe um único ponto fixo em [0,1] e a iteração com x_0=0,5 converge para esse ponto fixo.

Passo 5

Verificação para g_{2}:
  • Derivada: g_{2}'(x)=0,4-0,6\sin(x).
  • Para x\in[0,1] temos \sin(x)\in[0,\sin(1)], logo 0,4-0,6\sin(1)\le g_{2}'(x)\le 0,4.Numericamente 0,4-0,6\sin(1)\approx 0,4-0,6\cdot0,84147\approx -0,1048826. Assim |g_{2}'(x)|\le 0,4 \quad\text{para }x\in[0,1].Tomamos L_2=0,4<1.
  • Imagem: para x\in[0,1] e \cos(x)\in[\cos(1),1], g_{2}(x)=0,4x+0,6\cos(x)\in[0,4\cdot0+0,6\cos(1),\;0,4\cdot1+0,6\cdot1]=[0,6\cos(1),1].Numericamente 0,6\cos(1)\approx0,3241813836. Então g_{2}([0,1])\subset[0,3242,1]\subset[0,1].
  • Conclusão: g_{2} é contração em [0,1] com constante L_2=0,4, e g_{2}([0,1])\subset[0,1]; pelo Teorema de Banach existe um único ponto fixo em [0,1] e a iteração com x_0=0,5 converge para esse ponto fixo.

Passo 6

Resumo teórico-prático sobre convergência e velocidade:
  • Ambos g_1 e g_2 satisfazem as hipóteses do Teorema do Ponto Fixo em [0,1]. Portanto as iterações a partir de x_0=0,5 convergem para o único ponto fixo comum x^* que é solução de \cos(x)=x.
  • Constantes de contração (globais no intervalo escolhido): L_1=\sin(1)\approx0,84147,\qquad L_2=0,4.Em geral uma constante L menor significa convergência linear mais rápida (erro decresce como aproximadamente L^n).
  • Derivadas no ponto fixo x^* controlam a taxa local de convergência: calcular g_{1}'(x^*) e g_{2}'(x^*): g_{1}'(x^*)=-\sin(x^*),\qquad g_{2}'(x^*)=0,4-0,6\sin(x^*).Usando o valor conhecido x^*\approx0,7390851332 (a solução de \cos(x)=x): \sin(x^*)\approx 0,6736120291,então g_{1}'(x^*)\approx -0,673612,\qquad |g_{1}'(x^*)|\approx0,673612,
g_{2}'(x^*)\approx 0,4-0,6\cdot0,673612\approx -0,0041672,\qquad |g_{2}'(x^*)|\approx0,0041672.
  • Interpretação: localmente g_{2} tem derivada muito próxima de zero no ponto fixo, logo a convergência local é extremamente rápida (redução do erro por fator ≈ 0,00417 por iteração, linear muito forte), enquanto g_{1} reduz o erro por fator ≈ 0,6736 por iteração — bem mais lento.

Passo 7

Cálculo numérico das iterações (observação: os cálculos a seguir usam aproximações numéricas suficientes para observar o comportamento e a estabilização em 4 casas decimais).
Iterações para g_{1}(x)=\cos(x) com x_0=0,5:
\begin{aligned} x_0&=0,5000000000,\\\ x_1&=\cos(0,5)\approx0,8775825619,\\\ x_2&=\cos(0,8775825619)\approx0,6389737027,\\\ x_3&\approx0,8027044861,\\\ x_4&\approx0,6947702802,\\\ x_5&\approx0,768209,\\\ x_6&\approx0,719170,\\\ x_7&\approx0,752360,\\\ x_8&\approx0,730074,\\\ x_9&\approx0,745620,\\\ x_{10}&\approx0,734812,\\\ x_{11}&\approx0,741928,\\\ x_{12}&\approx0,737174,\\\ x_{13}&\approx0,740372,\\\ x_{14}&\approx0,738225,\\\ x_{15}&\approx0,739680,\\\ x_{16}&\approx0,738700,\\\ x_{17}&\approx0,739330,\\\ x_{18}&\approx0,738990,\\\ x_{19}&\approx0,739230,\\\ x_{20}&\approx0,739060. \end{aligned}
Observação do comportamento: a sequência oscila ao redor de x^* com amplitude decrescente; a convergência é relativamente lenta — são necessárias várias (duas ou três dezenas) de iterações até a aproximação estabilizar nas quatro casas decimais.
Usando o critério de arredondamento a quatro casas decimais (ou seja, obter 0,7391 ao arredondar), observa-se empiricamente que em torno de n\approx 18 20 as iterações de g_1 já rondam a casa 0,7391 (porém a sequência ainda oscila, demorando várias iterações para ficar firmemente com as mesmas quatro casas). O limite teórico a partir da estimativa grosseira pelo Teorema de Banach (usando L_1=\sin(1) e a desigualdade de erro global) dá uma estimativa conservadora maior (algumas dezenas de iterações; uma conta direta do tipo \dfrac{L_1^n}{1-L_1}|x_1-x_0|<5\cdot10^{-5} leva a n da ordem de 60), porém a observação prática mostra convergência útil já por volta de 20 iterações.

Passo 8

Iterações para g_{2}(x)=0,4x+0,6\cos(x) com x_0=0,5:
\begin{aligned} x_0&=0,5000000000,\\\ x_1&=0,4\cdot0,5+0,6\cos(0,5)\approx0,7265495371,\\\ x_2&\approx0,7388270150,\\\ x_3&\approx0,739097033\,,\\\ x_4&\approx0,7390766\ldots \end{aligned}
Observação do comportamento: a sequência aproxima-se muito rapidamente de x^*. Já em x_3 a aproximação é 0,739097 que, arredondando a quatro casas decimais, dá 0,7391. Em x_4 a aproximação está estável e muito próxima do valor verdadeiro x^*\approx0,7390851332.

Passo 9

Discussão comparativa e interpretação:
  • Teoria: g_2 tem constante de contração global L_2=0,4 e derivada no ponto fixo com módulo aproximadamente 0,00417. g_1 tem L_1=\sin(1)\approx0,84147 e |g_1'(x^*)|\approx0,6736. Portanto teoricamente g_2 deve convergir muito mais rápido (fator de contração muito menor).
  • Observação numérica confirma: com x_0=0,5, a iteração de g_2 já fornece, a partir de n=3, um valor que arredonda para 0,7391 (quatro casas decimais). A iteração de g_1 precisa de muitas iterações (na prática várias dezenas; empiricamente por volta de n\approx18 20 já se obtêm valores arredondando para 0,7391, mas a sequência ainda oscila um pouco).
  • Conclusão: g_2 estabiliza muito mais rápido com quatro casas decimais do que g_1. Isso decorre do fato de que g_2 foi “misturada” com o fator 0,4 em x (puxando a derivada no fixo para perto de zero), acelerando a convergência.

Resposta

(a) Sim: a solução de \cos(x)=x é ponto fixo de g_{1} e de g_{2}.
(b) Em ambos os casos a sequência x_{n+1}=g(x_n) com x_0=0,5 converge para a solução única x^*\approx0,7390851332 (aplicando o Teorema do Ponto Fixo em [0,1]; constantes de contração L_1=\sin(1)\approx0,84147 e L_2=0,4).
(c) A iteração com g_{2} estabiliza muito mais rápido: empiricamente atinge as quatro casas decimais ( 0,7391) já em n=3; a iteração com g_{1} requer muitas iterações (na prática da ordem de dezenas, por exemplo n\approx18 20 para observar estabilidade nas quatro casas, embora a estimativa teórica conservadora dê um n ainda maior).

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