Considere a equação
, para
. Tomando
, obtenha uma raiz da equação com precisão 0,0001 utilizando:
(b) o Método de Newton.
(b) o Método de Newton.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, no intervalo
, uma raiz da equação
usando o Método de Newton, com ponto inicial
e precisão
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Equação:
. - Intervalo onde a raiz está:
(útil para ver que existe raiz e que é um palpite razoável). - Ponto inicial:
. - Precisão desejada:
(ou seja, queremos que a aproximação convirja de modo que a diferença entre iterações seja menor que — veremos a escolha do critério no passo seguinte).
Passo 2
Explicando o Método de Newton (passo-a-passo didático e intuitivo):
- A ideia do Método de Newton é aproximar a função por sua reta tangente em um ponto atual
e usar a interseção dessa reta com o eixo como próximo palpite . - A fórmula do método é
onde:
-
é a função cuja raiz buscamos, -
é a derivada de , -
é o palpite atual, -
é o palpite atualizado. - Escolha do critério de parada: vou usar o critério com base na diferença entre iterações,
porque é prático para garantir que a aproximação de
já não muda além da precisão exigida. Outra opção seria usar
, mas ambas são comuns; aqui o primeiro é direto de interpretar na prova.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: definimos
e calculamos a derivada (regra: derivada de
é
; derivada de
é
):
Agora iremos aplicar a fórmula de Newton repetidas vezes a partir de
, calculando em cada passo
,
e
. Todos os valores numéricos abaixo são aproximados com precisão suficiente para a verificação do critério.
Passo 4
Iteração 0 → 1 (a partir de
):
- Calcular
:
- Calcular
:
- Atualizar
:
Passo 5
Iteração 1 → 2 (a partir de
):
- Calcular
e :
- Calcular
e :
- Atualizar
:
(Observação: o sinal fica positivo no numerador/denominador, então subtrai-se um número positivo.)
Passo 6
Iteração 2 → 3 (a partir de
):
- Calcular
e :
- Calcular
e :
- Atualizar
:
(A correção é da ordem de
.)
Passo 7
Iteração 3 → 4 (a partir de
):
- Calcular
e :
- Calcular
e :
- Atualizar
:
Passo 8
Verificação do critério de parada:
- Diferença entre últimas iterações:
Portanto a aproximação já atingiu a precisão exigida
. Conclusão: o Método de Newton convergiu rapidamente para a raiz aproximada indicada acima.