Considere a equação e^{x}-4 x^{2}=0, para x \in[0,1]. Tomando x_{0}=0,5, obtenha uma raiz da equação com precisão 0,0001 utilizando:
(b) o Método de Newton.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, no intervalo [0,1], uma raiz da equação
e^{x}-4x^{2}=0
usando o Método de Newton, com ponto inicial x_{0}=0,5 e precisão 0,0001.
Informações dadas:
  • Equação: e^{x}-4x^{2}=0.
  • Intervalo onde a raiz está: [0,1] (útil para ver que existe raiz e que x_{0}=0,5 é um palpite razoável).
  • Ponto inicial: x_{0}=0,5.
  • Precisão desejada: 10^{-4} (ou seja, queremos que a aproximação convirja de modo que a diferença entre iterações seja menor que 0,0001 — veremos a escolha do critério no passo seguinte).

Passo 2

Explicando o Método de Newton (passo-a-passo didático e intuitivo):
  • A ideia do Método de Newton é aproximar a função por sua reta tangente em um ponto atual x_{n} e usar a interseção dessa reta com o eixo x como próximo palpite x_{n+1}.
  • A fórmula do método é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde:
  • f(x) é a função cuja raiz buscamos,
  • f'(x) é a derivada de f,
  • x_{n} é o palpite atual,
  • x_{n+1} é o palpite atualizado.
  • Escolha do critério de parada: vou usar o critério com base na diferença entre iterações,
\lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert < 10^{-4},
porque é prático para garantir que a aproximação de x já não muda além da precisão exigida. Outra opção seria usar \lvert f(x_n)\rvert, mas ambas são comuns; aqui o primeiro é direto de interpretar na prova.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: definimos
f(x)=e^{x}-4x^{2}
e calculamos a derivada (regra: derivada de e^{x} é e^{x}; derivada de 4x^{2} é 8x):
f'(x)=e^{x}-8x.
Agora iremos aplicar a fórmula de Newton repetidas vezes a partir de x_{0}=0,5, calculando em cada passo f(x_{n}), f'(x_{n}) e x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}). Todos os valores numéricos abaixo são aproximados com precisão suficiente para a verificação do critério.

Passo 4

Iteração 0 → 1 (a partir de x_{0}=0,5):
  • Calcular f(x_{0}):
e^{0,5}\approx1,648721270700128,\qquad 4(0,5)^{2}=1,
f(0,5)=e^{0,5}-4(0,5)^{2}\approx1,648721270700128-1=0,648721270700128.
  • Calcular f'(x_{0}):
f'(0,5)=e^{0,5}-8(0,5)\approx1,648721270700128-4=-2,351278729299872.
  • Atualizar x:
x_{1}=0,5-\frac{0,648721270700128}{-2,351278729299872}\approx0,775888029180.

Passo 5

Iteração 1 → 2 (a partir de x_{1}\approx0,775888029180):
  • Calcular e^{x_{1}} e x_{1}^{2}:
e^{0,775888029180}\approx2,172522760,\qquad x_{1}^{2}\approx0,602002283,
4x_{1}^{2}\approx2,408009132.
  • Calcular f(x_{1}) e f'(x_{1}):
f(x_{1})\approx2,172522760-2,408009132=-0,235486372,
f'(x_{1})=e^{x_{1}}-8x_{1}\approx2,172522760-6,207104233=-4,034581473.
  • Atualizar x:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx0,775888029180-\frac{-0,235486372}{-4,034581473}\approx0,717515660.
(Observação: o sinal fica positivo no numerador/denominador, então subtrai-se um número positivo.)

Passo 6

Iteração 2 → 3 (a partir de x_{2}\approx0,717515660):
  • Calcular e^{x_{2}} e x_{2}^{2}:
e^{0,717515660}\approx2,049336800,\qquad x_{2}^{2}\approx0,514827900,
4x_{2}^{2}\approx2,059311600.
  • Calcular f(x_{2}) e f'(x_{2}):
f(x_{2})\approx2,049336800-2,059311600=-0,009974800,
f'(x_{2})=e^{x_{2}}-8x_{2}\approx2,049336800-5,740125280=-3,690788480.
  • Atualizar x:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx0,717515660-\frac{-0,009974800}{-3,690788480}\approx0,714812660.
(A correção é da ordem de 2{,}7\times10^{-3}.)

Passo 7

Iteração 3 → 4 (a partir de x_{3}\approx0,714812660):
  • Calcular e^{x_{3}} e x_{3}^{2}:
e^{0,714812660}\approx2,043802720,\qquad x_{3}^{2}\approx0,510957110,
4x_{3}^{2}\approx2,043828440.
  • Calcular f(x_{3}) e f'(x_{3}):
f(x_{3})\approx2,043802720-2,043828440=-0,000025720\quad(\text{aprox. }-2{,}57\times10^{-5}),
f'(x_{3})=e^{x_{3}}-8x_{3}\approx2,043802720-5,718501280=-3,674698560.
  • Atualizar x:
x_{4}=x_{3}-\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx0,714812660-\frac{-0,000025720}{-3,674698560}\approx0,714805671.

Passo 8

Verificação do critério de parada:
  • Diferença entre últimas iterações:
\lvert x_{4}-x_{3}\rvert\approx\lvert0,714805671-0,714812660\rvert\approx0,000006989<0,0001.
Portanto a aproximação já atingiu a precisão exigida 10^{-4}. Conclusão: o Método de Newton convergiu rapidamente para a raiz aproximada indicada acima.

Resposta

x\approx0,7148057

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