Questāo 8) (EXTRA) Um corcano ganhou de presente do pai uma máquina de calcular super moderna, capaz de armazenar 4 dígitos na mantissa utilizando arredondamento. Muito satisfeito, o ansioso rapaz efetuou duas operações em sua maquina nova envolvendo os números de árvores da plantação de seu pai (x=21281) e o número médio de frutas de cada árvore ( y=57138 ).
a) Calcule os erros absolutos e relativos envolvido no processo de utilização da máquina digital para cada número x e y ?
b) Após realizar as operações x-y e \frac{x}{y} percebeu que uma das duas operações resultava no erro relativo maior. Qual foi?

Passo 1

O enunciado dá os números reais x=21281 e y=57138 e diz que a máquina armazena mantissa com 4 dígitos significativos usando arredondamento. Pede:
a) Calcular os erros absoluto e relativo resultantes do armazenamento na máquina para cada número x e y.
b) Depois de executar as operações x-y e \dfrac{x}{y} na máquina, descobrir qual das duas operações resulta em erro relativo maior.
Informações relevantes: x=21281, y=57138; mantissa com 4 dígitos significativos (arredondamento). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Entender como arredondar para 4 dígitos significativos. Procedimento (explicação didática): representamos o número em notação normalizada (um dígito não nulo antes da vírgula) e mantemos 4 dígitos na mantissa, arredondando pelo dígito seguinte. Exemplo genérico: se tivermos a = d_1.d_2d_3d_4d_5\cdots\times10^k, com 4 dígitos queremos d_1.d_2d_3d_4\times10^k e arredondamos d_4 dependendo de d_5.
Aplicando a x: escrevemos
x = 21281 = 2{,}1281\times10^{4}.
Mantendo 4 dígitos na mantissa e arredondando pelo quinto dígito ( 1<5), obtemos
\tilde{x}=2{,}128\times10^{4}=21280.

Passo 3

Definições de erro (didática curta):
  • Erro absoluto de um valor v aproximado por \tilde{v} é |v-\tilde{v}|.
  • Erro relativo é \dfrac{|v-\tilde{v}|}{|v|} (adimensional).
Para x:
\text{erro absoluto em }x: \; |x-\tilde{x}| = |21281-21280| = 1.
\text{erro relativo em }x: \; \frac{1}{21281}\approx 4,699\times10^{-5}.
(Explicação: escrevemos 1/21281 e aproximamos em notação científica.)

Passo 4

Arredondamento para y. Escrevemos
y = 57138 = 5{,}7138\times10^{4}.
Mantendo 4 dígitos na mantissa e arredondando pelo quinto dígito ( 8\ge5), obtemos
\tilde{y}=5{,}714\times10^{4}=57140.

Passo 5

Calcular erros para y.
Erro absoluto:
|y-\tilde{y}| = |57138-57140| = 2.
Erro relativo:
\frac{2}{57138}\approx 3,500\times10^{-5}.

Passo 6

Como a máquina “armazenou” x e y com 4 dígitos na mantissa, as operações na máquina usam \tilde{x} e \tilde{y} como operandos. Além disso, quando o resultado de uma operação é armazenado, ele também fica com 4 dígitos na mantissa (arredondamento do resultado). Vou calcular, para cada operação, o resultado que a máquina fornece (com arredondamento final) e comparar com o valor exato para obter erro absoluto e relativo do resultado.

Passo 7

Operação x-y.
  1. Valor exato:
x-y = 21281-57138 = -35857.
  1. A máquina usa \tilde{x}=21280 e \tilde{y}=57140, então o resultado bruto na máquina é
\tilde{x}-\tilde{y}=21280-57140=-35860.
Representando -35860 em notação normalizada: -3{,}5860\times10^{4}. Arredondando para 4 dígitos na mantissa (o quinto dígito é zero), o resultado armazenado pela máquina continua
\widetilde{(x-y)}=-3{,}586\times10^{4}=-35860.
  1. Erros do resultado da subtração:
    Erro absoluto:
\big| (x-y) - \widetilde{(x-y)}\big| = |-35857 - (-35860)| = 3.
Erro relativo (tomando o valor exato em módulo no denominador):
\frac{3}{35857}\approx 8,368\times10^{-5}.
(Comentário didático: subtrações entre números próximos amplificam erros de arredondamento; aqui o valor exato é da ordem 10^{4} e o erro absoluto ficou em 3, daí o erro relativo pequeno mas não desprezível.)

Passo 8

Operação \dfrac{x}{y}.
  1. Valor exato:
\frac{x}{y}=\frac{21281}{57138}\approx 0{,}372624\quad(\text{aprox.}).
(Expliquei antes como obter aproximação: divisão direta/estimativa.)
  1. A máquina primeiro usa \tilde{x}=21280 e \tilde{y}=57140. O quociente bruto calculado com esses operandos é
\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}=\frac{21280}{57140}\approx 0{,}372418\dots
Para armazenar o resultado a máquina normaliza: 0{,}372418\dots = 3{,}72418\dots\times10^{-1}. Arredondando a mantissa para 4 dígitos (olhando o quinto dígito), obtemos
\widetilde{\left(\frac{x}{y}\right)} = 3{,}724\times10^{-1} = 0{,}3724.
  1. Erros do resultado da divisão:
    Erro absoluto:
\left|\frac{x}{y} - \widetilde{\left(\frac{x}{y}\right)}\right| \approx |0{,}372624-0{,}3724| \approx 0{,}000224.
Erro relativo:
\frac{0{,}000224}{0{,}372624}\approx 6,009\times10^{-4}.
(Comentário didático: o arredondamento final do quociente para 4 dígitos produz um erro relativo bem maior aqui, porque a magnitude do quociente é menor que a dos operandos e o arredondamento corta dígitos importantes do resultado.)

Passo 9

Comparação dos erros relativos das duas operações (valores obtidos):
  • Subtração x-y: erro relativo \approx 8,368\times10^{-5}.
  • Divisão x/y: erro relativo \approx 6,009\times10^{-4}.
Conclusão: a operação que resultou em maior erro relativo foi a divisão \dfrac{x}{y}.

Resposta

a) x: erro absoluto =1. erro relativo \approx 4,699\times10^{-5}.
a) y: erro absoluto =2. erro relativo \approx 3,500\times10^{-5}.
b) A operação com maior erro relativo foi \dfrac{x}{y} (erro relativo \approx 6,009\times10^{-4}, maior que o da subtração \approx 8,368\times10^{-5}).

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