1. (a) Considere a equação diferencial y^prime prime(x)=f(x), x in[a, b] com condições de fronteira y(a)=y(b)=1. Dada uma partição a=x0<x1<ldots<xn<xn+1=b do intervalo [a, b] formada por nós igualmente espaçados, isto é xi=a+i h, i=0,1, ldots, n+1, com h:=b-an+1, uma aproximação y1, y2, ldots, yn, para os valores y(x1), y(x2), ldots, y(xn) pode ser obtida pelo método de diferenças finitas como solução do sistema linear
underbrace[rrrrrr 2 & -1 & 0 & ldots & ldots & 0 -1 & 2 & -1 & ldots & ldots & 0 0 & -1 & 2 & ddots & & vdots vdots & & ddots & ddots & ddots & vdots vdots & & & ddots & ddots & -1 0 & ldots & ldots & ldots & -1 & 2 ]A[c y1 y2 vdots vdots vdots yn-1 yn ]=h^2[c (-f(x1)+1) -f(x2) vdots vdots vdots -f(xn-1) -f(xn)+1) ]
A matriz A do sistema satisfaz o critério das linhas? E o critério de Sassenfeld? Com base nesses critérios, qual dentre os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel é o mais adequado para resolver esse problema?
(b) Ao escalonar a matriz A do item anterior (sem troca de linhas) para resolver o sistema pelo método de eliminação de Gauss, chegamos a uma matriz A^* que é triangular superior, cujos elementos da diagonal satisfazem a relação de recorência
A1,1^*=2, (A^*)i+1, i+1=2-1(A^*)i, i, i=1,2, ldots, n-1
Verifique essas relação para n=4. Você conseguiria provar essa relação utilizando o método de indução matemática? Mostre que os elementos da diagonal de A^* são todos maiores ou iguais a 1. Sugestão:
  • Escreva (A^*)i+1, i+1=Phi(Ai, i^*) e mostre que Phi possui um único ponto fixo alpha.
  • Com base no teorema do valor médio: Phi(x)-Phi(alpha)x-alpha=Phi^prime(zeta), com zeta entre x e alpha, mostre que o denominador e o numerador de (A^*)i+1, i+1-alpha(A^*)i, i-alpha possuem o mesmo sinal para todo i >= 1 e conclua que os termos da sequência A1,1^*, A2,2^*, ldots, An, n^* estão todos de um mesmo lado com relação a alpha.
  • Conclua o resultado com base na inequação A1,1^*>alpha.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial
y''(x)=f(x), xin[a,b],
com condições de contorno y(a)=y(b)=1. Pelo método de diferenças finitas num grid xi=a+ih, i=0,dots,n+1, com h=(b-a)/(n+1), obtemos o sistema linear
A, y = h^2 g,
onde Ain R^ntimes n é a matriz tridiagonal com 2 na diagonal principal e -1 nas sub- e superdiagonais. No item (a) perguntam se A satisfaz o critério de dominância diagonal por linhas e o critério de Sassenfeld, e qual método iterativo (Jacobi ou Gauss–Seidel) é mais adequado. No item (b) escalonamos A por eliminação de Gauss (sem pivoteamento) e mostramos que, na matriz triangular superior resultante A^*, os pivôs satisfazem
A^*1,1=2, A^*i+1,i+1=2-1A^*i,i,;i=1,dots,n-1,
e pedem verificação para n=4 e prova por indução de que todos os A^*i,i>=1.

Passo 2

Verificação do critério de dominância diagonal por linhas para A:
Para cada linha interna i=2,dots,n-1 temos
|aii|=2, |ai,i-1|+|ai,i+1|=1+1=2,
logo 2>=2. Nas linhas de contorno i=1 e i=n vale
|a11|=2, |a12|=1implies2>1,
e análogo para i=n. Portanto A é fracamente diagonalmente dominante em todas as linhas e estritamente dominante nas duas extremas, o que caracteriza dominância diagonal irreduzível.

Passo 3

Cálculo dos coeficientes de Sassenfeld betai para A:
beta1=|-1|2=12, beta2=|-1|+beta1,|-1|2=1+0.52=0.75,
beta3=1+0.752=0.875,ldots, betai=1+betai-12<1forall i
Assim maxibetai<1, logo A satisfaz o critério de Sassenfeld e o método de Gauss–Seidel convergirá.

Passo 4

Conclusão do item (a): como A é diagonalmente dominante (irreduzível) e satisfaz o critério de Sassenfeld, o método de Gauss–Seidel é o mais adequado, tendo convergência garantida. O método de Jacobi também converge (matriz SPD), mas é menos eficiente que Gauss–Seidel para este caso.

Passo 5

Verificação da relação de recorrência em A^* para n=4. A matriz A é
2 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2
Eliminando sem pivô, o primeiro pivô é A^*1,1=2. O segundo pivô é
A^*2,2=2-(-1)^22=2-tfrac12=tfrac32
O terceiro pivô é
A^*3,3=2-(-1)^2A^*2,2 =2-1tfrac32=2-tfrac23=tfrac43,
e o quarto pivô
A^*4,4=2-1A^*3,3 =2-1tfrac43=2-tfrac34=tfrac54
Isso confirma a fórmula
A^*i+1,i+1=2-1A^*i,i(i=1,2,3)

Passo 6

Prova por indução de que A^*i,i>=1 para todo i. Defina
Phi(x)=2-1x
O único ponto fixo de Phi satisfaz x=2-1/ximplies x^2-2x+1=0implies x=1. Como
Phi'(x)=1x^2>0forall x>0,
Phi é estritamente crescente. Considere a razão
Phi(x)-1x-1=Phi'(zeta)>0
para algum zeta entre x e 1. Logo x>1impliesPhi(x)>1 e x<1impliesPhi(x)<1. Como A^*1,1=2>1, segue por indução que A^*i,i=Phi(A^*i-1,i-1)>1 para todo i.

Resposta

(a) A matriz A é diagonalmente dominante por linhas (fraca nas internas, forte nas extremas) e satisfaz o critério de Sassenfeld l(maxbetai<1r). Portanto, o método de Gauss–Seidel é o mais adequado.
(b) Para n=4 os pivôs de A^* são 2,tfrac32,tfrac43,tfrac54, obedecendo
;A^*i+1,i+1=2-1A^*i,i. Usando Phi(x)=2-1/x e seu ponto fixo alpha=1, com Phi'>0, mostra-se por indução que todos os A^*i,i>1.

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