1. Considere os sistemas de equações lineares
    (i) l4 x1+1 x2+1 x3=2 2 x1-5 x2+1 x3=3 1 x1+1 x2+1.5 x3=4,
    (ii) l5 x1+2 x2+2.5 x3=6 2 x1-5 x2+1 x3=3 1 x1+1 x2+1.5 x3=4.
Observe que o sitema (ii) foi obtido a partir do sistema (i) somando-se a terceira linha na primeira. Logo, eles são equivalentes.
Queremos resolver o sistema (i) ou (ii) pelo método de Gauss-Seidel partindo-se de um chute inicial x^(0)=(x1^(0), x2^(0), x3^(0))^t fixado de forma a obter a melhor aproximação possível na vigésima iteração. A qual dos dois sistemas devemos aplicar o método de Gauss-Seidel com esse objetivo?

Passo 1

O enunciado nos dá dois sistemas lineares equivalentes,
(i)
4x1+1x2+1x3=2, 2x1-5x2+1x3=3, 1x1+1x2+1,5x3=4,
(ii)
5x1+2x2+2,5x3=6, 2x1-5x2+1x3=3, 1x1+1x2+1,5x3=4,
e queremos escolher em qual aplicar Gauss–Seidel para obter, a partir de um x^(0) fixo, a melhor aproximação já na iteração 20. A ideia é comparar a rapidez de convergência de cada sistema.

Passo 2

Para o método de Gauss–Seidel, um critério prático de velocidade de convergência é o grau de dominância diagonal. Definimos para cada linha i o quociente
ri = sumjneq ilvert aijrvertlvert aiirvert
Em geral, quanto menores os ri, mais rápido converge (idealmente todos ri<1).

Passo 3

Calculemos os ri em cada sistema:
— No sistema (i):
linha 1:
r1^(i)=|1|+|1||4|=24=0,5,
linha 2:
r2^(i)=|2|+|1||-5|=35=0,6,
linha 3:
r3^(i)=|1|+|1||1,5|=21,5approx1,33
— No sistema (ii):
linha 1:
r1^(ii)=|2|+|2,5||5|=4,55=0,9,
linha 2:
r2^(ii)=|2|+|1||-5|=0,6(igual a (i)),
linha 3:
r3^(ii)=|1|+|1||1,5|approx1,33(igual a (i))

Passo 4

Nos dois sistemas apenas a linha 3 tem r3>1, mas na linha 1 o sistema (i) apresenta r1^(i)=0,5, muito menor que r1^(ii)=0,9. Logo, o acoplamento entre variáveis é mais fraco em (i), e seu método de Gauss–Seidel converge mais rápido.

Resposta

Aplicar o método de Gauss–Seidel no sistema (i).

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