1. O critério das linhas afirma que, se o número
sigma:=max 1 <= i <= n(1|ai, i| sumj neq i|ai, j|)
é menor do que 1, então o método de Jacobi converge quando aplicado a um sistema com matriz A=(ai, j). Queremos aplicar o método de Jacobi para resolver o sistema linear
underbrace[rrrr pi^2 & -1 & 0 & 0 -1 & pi^2 & -1 & 0 0 & -1 & pi^2 & -1 0 & 0 & -1 & pi^2 ]A times[l x1 x2 x3 x4 ]=[l 1 1 1 1 ]
Seja x^(*) a solução do sistema. Use a estimativa
|x^(k)-x^(*)|infty <= sigma^k1-sigma|x^(1)-x^(0)|infty
para determinar o número de iterações necessárias para obter um aproximação com erro inferior a epsilon=10^-8, partindo-se do ponto x^(0)=[l0 0 0 0].

Passo 1

O enunciado pede que apliquemos o método de Jacobi ao sistema
A,x = b, A = pi^2 & -1 & 0 & 0 -1 & pi^2 & -1 & 0 0 & -1 & pi^2 & -1 0 & 0 & -1 & pi^2 , b = 1111,
usando o critério das linhas para convergência e a estimativa
|x^(k) - x^(*)|infty <= sigma^k1-sigma,|x^(1)-x^(0)|infty,
de modo que o erro fique abaixo de epsilon=10^-8, partindo de x^(0)=0. Vamos calcular sigma, |x^(1)-x^(0)|infty e depois encontrar o menor k que satisfaça a estimativa.

Passo 2

Para o método de Jacobi,
sigma := max1<= i<= n1|aii|sumjneq i|aij|
Aqui aii=pi^2. Nos extremos ( i=1 e i=4) só há um vizinho de módulo 1, então
1pi^2sumjneq i|aij| = 1pi^2cdot1 = 1pi^2
Para i=2 e i=3 há dois vizinhos de módulo 1, logo
1pi^2sumjneq i|aij| = 2pi^2
Portanto
sigma = 2pi^2

Passo 3

Partindo de , a primeira iteração é
onde . Assim
e

Passo 4

A estimativa de erro é
|x^(k) - x^(*)|infty <= sigma^k1-sigma,|x^(1)-x^(0)|infty = sigma^k1-sigma,1pi^2
Queremos
sigma^k1-sigma,1pi^2 <= 10^-8 Long<=ftrightarrow sigma^k <= (1-sigma),pi^2,10^-8

Passo 5

Substituindo sigma=2/pi^2 e calculando numericamente:
1-sigma = 1 - 2pi^2, (1-sigma),pi^2 approx 7,8716,
logo a condição vira
(2pi^2)^k <= 7,8716times10^-8
Tomando logaritmo,
k >= lnl(7,8716times10^-8r)lnl(tfrac2pi^2r) approx -16,356-1,597 approx 10,24
Como k precisa ser inteiro, escolhemos k=11.

Resposta

São necessárias 11 iterações.

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