Considere o sistema linear
(ccc 2 & -3 & 1 4 & -6 & -1 1 & 2 & 1 )(l x1 x2 x3 )=(c -5 -7 4 )
a) Resolva-o pelo método de Eliminação de Gauss.
b) Calcule o determinante de A usando a matriz triangular obtida no item a).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
pelo método de Eliminação de Gauss (ou seja, transformar a matriz aumentada em triangular superior e depois usar substituição regressiva) e, em seguida, calcular a partir dos pivôs obtidos na forma triangular.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 2 & -3 & 1 & -5 4 & -6 & -1 & -7 1 & 2 & 1 & 4 ]

Passo 3

Zeramos abaixo do pivô a11=2:
  • R2 R2 - 2R1
  • R3 R3 - tfrac12 R1
Isso produz
[ccc|c 2 & -3 & 1 & -5 0 & 0 & -3 & 3 0 & tfrac72 & tfrac12 & tfrac132 ]

Passo 4

O segundo pivô na linha 2 ficou zero, então trocamos R2 e R3 (essa operação inverte o sinal de det):
[ccc|c 2 & -3 & 1 & -5 0 & tfrac72 & tfrac12 & tfrac132 0 & 0 & -3 & 3 ]
Agora temos matriz triangular superior, com pivôs 2, tfrac72 e -3.

Passo 5

Aplicamos substituição regressiva:
  1. Da linha 3:
-3,x3 = 3 Longrightarrow x3 = -1
  1. Da linha 2:
tfrac72,x2 + tfrac12,x3 = tfrac132 Longrightarrow tfrac72,x2 + tfrac12(-1) = tfrac132 Longrightarrow tfrac72,x2 = 7 Longrightarrow x2 = 2
  1. Da linha 1:
2,x1 - 3,x2 + x3 = -5 Longrightarrow 2,x1 - 3cdot2 + (-1) = -5 Longrightarrow 2,x1 -7 = -5 Longrightarrow x1 = 1

Passo 6

Para o determinante, usamos que só fizemos operações do tipo Ri Ri - kRj (não alteram det) e uma troca de linhas (muda o sinal). Logo
det A = -;(2);l(tfrac72r);(-3) = -;l(2cdottfrac72cdot(-3)r) = -;(-21) =21

Resposta

(a) (x1,x2,x3) = (1,2,-1)
(b) det A = 21

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