Considere a integração abaixo, calcule o valor de c de modo que a solução y possa satisfazer as seguintes condições.
integral f(x) d x=F(x)+c
b) f(x)=cos ^2 x, y(pi)=pi2

Passo 1

Beleza, o enunciado manda integrar a função
f(x)=cos^2x
e depois ajustar a constante y(x)=integral f(x),dx = F(x)+c pra que a “solução”
satisfaça .
Conteúdo: integração de funções trigonométricas usando identidade de redução. Vamos precisar da fórmula

e dos integrais básicos.

Passo 2

Primeiro a gente usa a identidade trigonométrica:
cos^2x = 1 + cos2x2
Isso serve pra quebrar o quadrado em termos que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral cos^2x,dx = integral 1 + cos2x2,dx = 12integral 1,dx + 12integral cos2x,dx
Aqui a gente separou a soma em duas integrais e puxou o fator pra fora.

Passo 4

Agora integramos cada parte:
  • integral cos^2x,dx = 12,x + 12cdotsin2x2 + c = x2 + sin2x4 + c
  • (porque a derivada de é , então a gente divide por 2).
    Juntando tudo:

Passo 5

Aí a condição é y(x)=x2+sin2x4+c, . Como
y(pi)=pi2 + sin2pi4 + c = pi2 + 0 + c stackrel!=pi2
substituímos pi2 + c = pi2 ;;Longrightarrow;; c = 0 :
Logo

Resposta

O valor da constante é .

Exercícios relacionados