Utilize a regra do trapézio( \mathrm{n}=1 ) para calcular a integral e um limite superior para o erro para
\int_{4}^{4,5} \frac{1}{x^{2}} d x
usando 6 casas decimais;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) aproximar a integral \displaystyle \int_{4}^{4,5} \frac{1}{x^{2}}\,dx usando a regra do trapézio com \mathrm{n}=1 (ou seja, um único trapézio sobre o intervalo [4,4,5]); (ii) fornecer um limite superior para o erro dessa aproximação. Dados que temos: o intervalo é [a,b]=[4,4,5] e a função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}. A aproximação pedida deve ser apresentada com 6 casas decimais.
Passo 2
Explicando a regra do trapézio para \mathrm{n}=1: quando usamos um único trapézio no intervalo [a,b], a fórmula é
T=\frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr).
Aqui a e b são os extremos do intervalo, f(a) e f(b) são os valores da função nesses extremos, e T é a área do trapézio que serve como aproximação da integral. Agora aplicamos isso ao nosso caso: a=4, b=4{,}5 e f(x)=x^{-2}. Calculamos f(4) e f(4{,}5):
Agora arredondamos para 6 casas decimais. Olhando os dígitos: 0{,}027970\mathbf{6}\ldots (o sétimo dígito é 6), então o sexto dígito (que é 0) sobe para 1. Assim a aproximação com 6 casas decimais é
T\approx 0{,}027971.
Passo 3
Agora vou ensinar a estimar um limite superior para o erro do trapézio (didático): para a regra do trapézio com um único subintervalo existe uma fórmula de cota do erro que diz
Aqui f'' é a segunda derivada de f; esse resultado vem da expansão de Taylor com resto na forma integral e da análise do erro do trapézio (não preciso derivar todo o teorema agora, mas é importante saber que a segunda derivada controla a curvatura da função e, portanto, o erro do trapézio). Vamos calcular f''(x) para a nossa função f(x)=x^{-2}:
No intervalo [4,4{,}5] a função x\mapsto \dfrac{6}{x^{4}} é decrescente (porque x^{4} cresce), então o máximo de |f''(x)| no intervalo ocorre em x=a=4. Assim
que de fato é menor que a cota 0{,}000244140625 que calculamos (boa checagem!).
Passo 4
Resumo prático para a prova: a aplicação direta da regra do trapézio com \mathrm{n}=1 dá a fração exata \dfrac{145}{5184}, cujo valor decimal arredondado para 6 casas decimais é 0{,}027971. Um limite superior (cota) para o erro nessa aproximação é \dfrac{1}{4096}=0{,}000244140625. Você pode usar a cota para afirmar que o erro absoluto não passa desse valor.