Utilize a regra do trapézio( \mathrm{n}=1 ) para calcular a integral e um limite superior para o erro para
\int_{4}^{4,5} \frac{1}{x^{2}} d x
usando 6 casas decimais;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) aproximar a integral \displaystyle \int_{4}^{4,5} \frac{1}{x^{2}}\,dx usando a regra do trapézio com \mathrm{n}=1 (ou seja, um único trapézio sobre o intervalo [4,4,5]); (ii) fornecer um limite superior para o erro dessa aproximação. Dados que temos: o intervalo é [a,b]=[4,4,5] e a função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}. A aproximação pedida deve ser apresentada com 6 casas decimais.

Passo 2

Explicando a regra do trapézio para \mathrm{n}=1: quando usamos um único trapézio no intervalo [a,b], a fórmula é
T=\frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr).
Aqui a e b são os extremos do intervalo, f(a) e f(b) são os valores da função nesses extremos, e T é a área do trapézio que serve como aproximação da integral. Agora aplicamos isso ao nosso caso: a=4, b=4{,}5 e f(x)=x^{-2}. Calculamos f(4) e f(4{,}5):
f(4)=\frac{1}{4^{2}}=\frac{1}{16},\qquad f(4{,}5)=\frac{1}{(4{,}5)^{2}}=\frac{1}{20{,}25}=\frac{4}{81}.
Somando e aplicando a fórmula:
f(4)+f(4{,}5)=\frac{1}{16}+\frac{4}{81}=\frac{145}{1296},
T=\frac{4{,}5-4}{2}\cdot\frac{145}{1296}=\frac{0{,}5}{2}\cdot\frac{145}{1296}=\frac{1}{4}\cdot\frac{145}{1296}=\frac{145}{5184}.
A forma decimal dessa fração é
\frac{145}{5184}=0{,}027970679012345\ldots
Agora arredondamos para 6 casas decimais. Olhando os dígitos: 0{,}027970\mathbf{6}\ldots (o sétimo dígito é 6), então o sexto dígito (que é 0) sobe para 1. Assim a aproximação com 6 casas decimais é
T\approx 0{,}027971.

Passo 3

Agora vou ensinar a estimar um limite superior para o erro do trapézio (didático): para a regra do trapézio com um único subintervalo existe uma fórmula de cota do erro que diz
|E_{T}|\le \frac{(b-a)^{3}}{12}\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.
Aqui f'' é a segunda derivada de f; esse resultado vem da expansão de Taylor com resto na forma integral e da análise do erro do trapézio (não preciso derivar todo o teorema agora, mas é importante saber que a segunda derivada controla a curvatura da função e, portanto, o erro do trapézio). Vamos calcular f''(x) para a nossa função f(x)=x^{-2}:
f'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}},\qquad f''(x)=6x^{-4}=\frac{6}{x^{4}}.
No intervalo [4,4{,}5] a função x\mapsto \dfrac{6}{x^{4}} é decrescente (porque x^{4} cresce), então o máximo de |f''(x)| no intervalo ocorre em x=a=4. Assim
\max_{x\in[4,4{,}5]}|f''(x)|=f''(4)=\frac{6}{4^{4}}=\frac{6}{256}=\frac{3}{128}.
Substituindo na cota do erro, com b-a=0{,}5=\tfrac{1}{2},
|E_{T}|\le \frac{(1/2)^{3}}{12}\cdot\frac{3}{128}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{12}\cdot\frac{3}{128}=\frac{3}{12288}.
Essa fração simplifica: \dfrac{3}{12288}=\dfrac{1}{4096}. Em decimal,
|E_{T}|\le \frac{1}{4096}=0{,}000244140625.
Para checar (aprender com o exemplo): o valor exato da integral pode ser obtido analiticamente porque \int x^{-2}\,dx=-x^{-1}. Então
\int_{4}^{4{,}5}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{4}^{4{,}5}=-\frac{1}{4{,}5}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{1}{36}=0{,}027777\ldots
A diferença entre a aproximação do trapézio \tfrac{145}{5184} e o valor exato \tfrac{1}{36}=\tfrac{144}{5184} é
\left|\frac{145}{5184}-\frac{144}{5184}\right|=\frac{1}{5184}\approx 0{,}0001929012345679,
que de fato é menor que a cota 0{,}000244140625 que calculamos (boa checagem!).

Passo 4

Resumo prático para a prova: a aplicação direta da regra do trapézio com \mathrm{n}=1 dá a fração exata \dfrac{145}{5184}, cujo valor decimal arredondado para 6 casas decimais é 0{,}027971. Um limite superior (cota) para o erro nessa aproximação é \dfrac{1}{4096}=0{,}000244140625. Você pode usar a cota para afirmar que o erro absoluto não passa desse valor.

Resposta

\displaystyle \int_{4}^{4,5}\frac{1}{x^{2}}\,dx \approx 0{,}027971\n |E_{T}|\le \dfrac{1}{4096}\approx 0{,}000244140625

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