Considere a equação \ln (x)+(x+1)^{3}=0
(a) Localize a ou as raizes
(b) Verifique que em \left[\frac{1}{3^{3}}, 1\right] podemos aplicar Biseção. Quantas iterações serão necessárias para garantir que a distância de X_{k} a uma raiz é menor que 2^{-10}?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dada a equação \ln(x)+(x+1)^{3}=0. O domínio natural é x>0 porque aparece \ln(x).
  • O enunciado pede:
    (a) localizar a(s) raiz(es) — isto é, encontrar onde a equação se anula, pelo menos em que intervalo(s) ela está;
    (b) verificar que em \left[\dfrac{1}{3^{3}},1\right]=\left[\dfrac{1}{27},1\right] podemos aplicar o método da Bissecção e determinar quantas iterações são necessárias para garantir que a distância de X_{k} até a raiz seja menor que 2^{-10}.

Passo 2

Defino a função cuja raiz procuramos e discuto continuidade e derivada.
  • Defino f(x)=\ln(x)+(x+1)^{3}, com domínio x>0.
  • A função \ln(x) é contínua em (0,\infty) e (x+1)^{3} é contínua em toda \mathbb{R}; logo f é contínua em (0,\infty). Para a Bissecção precisamos de continuidade no intervalo considerado — isso está garantido em \left[\dfrac{1}{27},1\right].
  • A derivada é
f'(x)=\frac{1}{x}+3(x+1)^{2}.
Para todo x>0 temos \dfrac{1}{x}>0 e 3(x+1)^{2}\ge0, portanto
f'(x)>0\quad\text{para todo }x>0.
Isto significa que f é estritamente crescente em (0,\infty). Em particular, f só pode ter no máximo uma raiz em (0,\infty).

Passo 3

Avalio f nas extremidades do intervalo \left[\dfrac{1}{27},1\right] para verificar mudança de sinal.
  • Calculo f(1):
f(1)=\ln(1)+(1+1)^{3}=0+2^{3}=8>0.
  • Calculo f\!\left(\dfrac{1}{27}\right). Primeiro escrevo \ln\!\left(\dfrac{1}{27}\right)=-\ln 27=-3\ln 3. Também
\left(1+\frac{1}{27}\right)^{3}=\left(\frac{28}{27}\right)^{3}=1+3\cdot\frac{1}{27}+3\cdot\frac{1}{27^{2}}+\frac{1}{27^{3}}.
Numericamente:
\left(\frac{28}{27}\right)^{3}=1+\frac{3}{27}+\frac{3}{27^{2}}+\frac{1}{27^{3}} =1+\frac{1}{9}+\frac{1}{243}+\frac{1}{19683}\approx 1,115277.
E \ln 3\approx 1,098612, logo \ln 27=3\ln 3\approx 3,295836. Portanto
f\!\left(\frac{1}{27}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{27}\right)+\left(\frac{28}{27}\right)^{3} \approx -3,295836+1,115277\approx -2,180559<0.
  • Como f\!\left(\dfrac{1}{27}\right)<0 e f(1)>0, há mudança de sinal entre as extremidades do intervalo \left[\dfrac{1}{27},1\right].

Passo 4

Conclusão sobre existência e unicidade da raiz (localização).
  • f é contínua em \left[\dfrac{1}{27},1\right] e troca de sinal nas extremidades; pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em \left(\dfrac{1}{27},1\right).
  • Como f é estritamente crescente em (0,\infty) (mostrei f'(x)>0), essa raiz é única em (0,\infty).
  • Portanto a equação tem exatamente uma raiz e ela está localizada em \left[\dfrac{1}{27},1\right] (mais precisamente em \left(\dfrac{1}{27},1\right)).

Passo 5

Verificação da aplicabilidade do método da Bissecção no intervalo dado.
  • Condições para aplicar Bissecção em [a,b]:
    1. f contínua em [a,b];
    2. f(a) e f(b) têm sinais opostos (isto garante a existência de raiz no intervalo).
  • Já mostrei que f é contínua em \left[\dfrac{1}{27},1\right] e que f\!\left(\dfrac{1}{27}\right)<0, f(1)>0. Logo as duas condições estão satisfeitas e podemos aplicar Bissecção em \left[\dfrac{1}{27},1\right].

Passo 6

Formulação do critério de erro para Bissecção e cálculo de quantas iterações são necessárias.
  • Se [a,b] é o intervalo inicial e L_{0}=b-a é seu comprimento inicial, após k iterações o comprimento do intervalo obtido é no máximo
L_{k}\le\frac{L_{0}}{2^{k}}.
  • O ponto médio X_{k} do intervalo da k-ésima iteração está a uma distância do zero (da raiz) menor ou igual a metade do comprimento desse intervalo, isto é
|X_{k}-\xi|\le\frac{L_{k}}{2}\le\frac{L_{0}}{2^{k+1}},
onde \xi denota a raiz verdadeira.
  • No nosso caso a=\dfrac{1}{27}, b=1, logo
L_{0}=1-\frac{1}{27}=\frac{26}{27}.
  • Queremos garantir |X_{k}-\xi|<2^{-10}. Pelo limite acima basta exigir
\frac{L_{0}}{2^{k+1}}<2^{-10}.
Substituindo L_{0}=\dfrac{26}{27} obtemos
\frac{26}{27}\cdot \frac{1}{2^{k+1}}<\frac{1}{2^{10}} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{26}{27}<2^{k+1-10}=2^{\,k-9}.
  • Tomando logaritmo base 2:
k-9>\log_{2}\!\left(\frac{26}{27}\right).
Como \dfrac{26}{27}<1 temos \log_{2}\!\left(\dfrac{26}{27}\right)<0. Numericamente, \log_{2}\!\left(\dfrac{26}{27}\right)\approx -0,055. Assim
k>9-0,055\approx 8,945.
Portanto o menor inteiro k que satisfaz a desigualdade é k=9.

Passo 7

Verificação numérica rápida do resultado.
  • Para k=9 o erro garantido é
|X_{9}-\xi|\le\frac{L_{0}}{2^{10}}=\frac{26}{27}\cdot\frac{1}{1024}\approx 0,0009407,
e isso é menor que 2^{-10}=\dfrac{1}{1024}\approx 0,0009766. Para k=8 o erro garantido seria aproximadamente 0,0018814>2^{-10}. Logo k=9 é o número mínimo de iterações que garante a precisão pedida.

Resposta

A equação tem exatamente uma raiz em \left(\dfrac{1}{27},1\right); em particular existe e único \xi\in\left[\dfrac{1}{27},1\right] tal que \ln(\xi)+(\xi+1)^{3}=0.
São necessárias k=9 iterações de Bissecção para garantir |X_{k}-\xi|<2^{-10}.

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