Considere a equação
(a) Localize a ou as raizes
(b) Verifique que em
podemos aplicar Biseção. Quantas iterações serão necessárias para garantir que a distância de
a uma raiz é menor que
?
(a) Localize a ou as raizes
(b) Verifique que em
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dada a equação
. O domínio natural é porque aparece . - O enunciado pede:
(a) localizar a(s) raiz(es) — isto é, encontrar onde a equação se anula, pelo menos em que intervalo(s) ela está;
(b) verificar que empodemos aplicar o método da Bissecção e determinar quantas iterações são necessárias para garantir que a distância de até a raiz seja menor que .
Passo 2
Defino a função cuja raiz procuramos e discuto continuidade e derivada.
- Defino
, com domínio . - A função
é contínua em e é contínua em toda ; logo é contínua em . Para a Bissecção precisamos de continuidade no intervalo considerado — isso está garantido em . - A derivada é
Para todo
temos
e
, portanto
Isto significa que
é estritamente crescente em
. Em particular,
só pode ter no máximo uma raiz em
.
Passo 3
Avalio
nas extremidades do intervalo
para verificar mudança de sinal.
- Calculo
:
- Calculo
. Primeiro escrevo . Também
Numericamente:
E
, logo
. Portanto
- Como
e , há mudança de sinal entre as extremidades do intervalo .
Passo 4
Conclusão sobre existência e unicidade da raiz (localização).
-
é contínua em e troca de sinal nas extremidades; pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em . - Como
é estritamente crescente em (mostrei ), essa raiz é única em . - Portanto a equação tem exatamente uma raiz e ela está localizada em
(mais precisamente em ).
Passo 5
Verificação da aplicabilidade do método da Bissecção no intervalo dado.
- Condições para aplicar Bissecção em
: -
contínua em ; -
e têm sinais opostos (isto garante a existência de raiz no intervalo).
-
- Já mostrei que
é contínua em e que , . Logo as duas condições estão satisfeitas e podemos aplicar Bissecção em .
Passo 6
Formulação do critério de erro para Bissecção e cálculo de quantas iterações são necessárias.
- Se
é o intervalo inicial e é seu comprimento inicial, após iterações o comprimento do intervalo obtido é no máximo
- O ponto médio
do intervalo da -ésima iteração está a uma distância do zero (da raiz) menor ou igual a metade do comprimento desse intervalo, isto é
onde
denota a raiz verdadeira.
- No nosso caso
, , logo
- Queremos garantir
. Pelo limite acima basta exigir
Substituindo
obtemos
- Tomando logaritmo base
:
Como
temos
. Numericamente,
. Assim
Portanto o menor inteiro
que satisfaz a desigualdade é
.
Passo 7
Verificação numérica rápida do resultado.
- Para
o erro garantido é
e isso é menor que
. Para
o erro garantido seria aproximadamente
. Logo
é o número mínimo de iterações que garante a precisão pedida.
Resposta
A equação tem exatamente uma raiz em
; em particular existe e único
tal que
.
São necessárias iterações de Bissecção para garantir
.
São necessárias