Considere a equação 2 x-ln (x)-4=0.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza, seguinte: a gente tem que resolver a equação
2x - ln(x) - 4 = 0
Isso é um problema de “achar raiz” de função não‐linear, matéria de métodos numéricos.
O que vamos usar:
  • Teorema do valor intermediário (pra localizar intervalo que contém raiz)
  • Método da bissecção (pra garantir erro)
  • Método de Newton (pra comparar número de iterações)
  • Fórmula de erro da bissecção
  • Fórmula de Newton:

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde está a raiz. Definimos
f(x) = 2x - ln(x) - 4, x>0
Avaliações:
  • [2,,3] (negativo)
  • (positivo)
Como é contínua e, de fato, para , ela é estritamente crescente. Logo existe exatamente uma raiz em

Passo 3

Queremos garantir uma aproximação com erro menor que n >= lnl((b-a)/varepsilonr)ln 2 = ln(1/10^-4)ln2 = ln(10^4)ln2 = 4,ln10ln2 approx 13,29 usando bissecção no intervalo inicial n = 14 iterações . A estimativa de iterações é
Como tem que ser inteiro, precisamos de
çõ

Passo 4

Agora vamos ao item 3 do enunciado: achar a raiz com erro n >= ln(1/10^-6)ln2 = 6,ln10ln2 approx 19,93 ;Rightarrow; n = 20 iterações usando bissecção e Newton, e comparar iterações.
  1. Bissecção para xn+1 = xn - f(xn)f'(xn), f'(x)=2 - 1x :
    x1 = 2,5 - 0,08371,6 approx 2,4477 çõ
  2. Método de Newton:
    • Fórmula:
    • Escolhemos . Aí:
      ,
      , Repetindo até , vemos que em 4 iterações já entramos no erro desejado.

Resposta

Raiz aproximada:
x approx 2,447025
  • Para erro com bissecção: 14 iterações.
  • Para erro :
    • Bissecção: 20 iterações
    • Newton: 4 iterações

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