Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza, seguinte: a gente tem que resolver a equação
Isso é um problema de “achar raiz” de função não‐linear, matéria de métodos numéricos.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Teorema do valor intermediário (pra localizar intervalo que contém raiz)
- Método da bissecção (pra garantir erro)
- Método de Newton (pra comparar número de iterações)
- Fórmula de erro da bissecção
- Fórmula de Newton:
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde está a raiz. Definimos
Avaliações:
-
(negativo) -
(positivo)
Como
é contínua e, de fato,
para
, ela é estritamente crescente. Logo existe exatamente uma raiz em
Passo 3
Queremos garantir uma aproximação com erro menor que
usando bissecção no intervalo inicial
. A estimativa de iterações é
Como
tem que ser inteiro, precisamos de
Passo 4
Agora vamos ao item 3 do enunciado: achar a raiz com erro
usando bissecção e Newton, e comparar iterações.
-
Bissecção para
: -
Método de Newton:
- Fórmula:
- Escolhemos
. Aí:
,
, Repetindo até , vemos que em 4 iterações já entramos no erro desejado.
- Fórmula:
Resposta
Raiz aproximada:
- Para erro
com bissecção: 14 iterações. - Para erro
:
• Bissecção: 20 iterações
• Newton: 4 iterações