Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza! A gente tem a equação
O conteúdo aqui é “métodos numéricos para solução de equações não‐lineares” (bissecção e Newton, por exemplo). Vamos precisar:
- Reformular como
. - Achar onde muda de sinal (raízes).
- Calcular quantas iterações de bissecção garantem erro <
. - Comparar bissecção e Newton para chegar a erro <
.
Passo 2
Primeiro, definimos
Procuramos onde
. Avaliando alguns pontos:
-
. -
.
Logo há uma raiz em.
Também vemos -
.
Portanto as duas soluções são
Passo 3
Agora, para achar
por bissecção com erro <
, lembramos que após
iterações o tamanho do intervalo vale
Aqui
e
, então
Como só iterações inteiras contam, precisamos de
iterações para garantir erro menor que
.
Passo 4
Vamos comparar bissecção e Newton para erro <
na raiz de
.
- Bissecção:
logo
iterações.
- Método de Newton:
Fórmula
Escolhendo chute inicial
:
Em 3–4 iterações já chegamos a uma diferença abaixo de
.
Resposta
Raízes:
Para erro <
na bissecção (em
) são necessárias 14 iterações.
Para erro < :
Para erro <
- Bissecção: 20 iterações.
- Newton: cerca de 4 iterações.