Considere a equação 2^x=4 x.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza! A gente tem a equação
2^x = 4x
O conteúdo aqui é “métodos numéricos para solução de equações não‐lineares” (bissecção e Newton, por exemplo). Vamos precisar:
  1. Reformular como .
  2. Achar onde muda de sinal (raízes).
  3. Calcular quantas iterações de bissecção garantem erro < .
  4. Comparar bissecção e Newton para chegar a erro < .

Passo 2

Primeiro, definimos
f(x)=2^x-4x
Procuramos onde x1in(0,1), x2=4 (exata) . Avaliando alguns pontos:
  • .
  • .
    Logo há uma raiz em .
    Também vemos
  • .
    Portanto as duas soluções são

Passo 3

Agora, para achar b-a2^n<10^-4 por bissecção com erro < 12^n<10^-4 Longrightarrow 2^n>10^4 Longrightarrow n>log2(10^4)approx13,29 , lembramos que após n=14 iterações o tamanho do intervalo vale
Aqui e , então
Como só iterações inteiras contam, precisamos de
iterações para garantir erro menor que .

Passo 4

Vamos comparar bissecção e Newton para erro < 12^n<10^-6 Longrightarrow n>log2(10^6)approx19,93 na raiz de xk+1=xk-f(xk)f'(xk), f'(x)=2^xln2-4 .
  1. Bissecção:
logo iterações.
  1. Método de Newton:
    Fórmula
Escolhendo chute inicial :
Em 3–4 iterações já chegamos a uma diferença abaixo de .

Resposta

Raízes:
x1approx0,310239, x2=4
Para erro < na bissecção (em ) são necessárias 14 iterações.
Para erro < :
  • Bissecção: 20 iterações.
  • Newton: cerca de 4 iterações.

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