Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que .
Calcule uma das soluções com erro menor que usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente trabalhar com a equação
Isso cai em “métodos numéricos de busca de raízes” (função contínua, mudança de sinal, bissecção, Newton etc.).
O que vamos precisar:
- Entender que queremos achar tal que .
- Saber que se muda de sinal num intervalo , existe raiz (Teorema do Valor Intermediário).
- Fórmula de número de iterações na bissecção:
Método de Newton: com .
Passo 2
Primeiro, “localizar” a raiz.
Definimos
2) Notamos que, para , ; para , .
3) Calculamos e .
Como é contínua e muda de sinal em , existe exatamente UMA raiz ali.
Passo 3
Queremos erro menor que pela bissecção em .
Teoria do erro na bissecção:
Logo
Arredondando pra cima, precisamos de 14 iterações para garantir erro abaixo de .
Passo 4
Agora vamos aproximar a raiz com erro usando:
A) Bissecção B) Newton
A) Bissecção em :
Usamos a mesma fórmula:
Logo precisamos de 20 iterações.
B) Método de Newton, partindo de :
, .
Iteramos .
Num programa (ou na mão, passo a passo) vemos que em 4 iterações já chegamos a
Comparando:
Bissecção: 20 iterações para varepsilon=10^-6.
Newton: 4 iterações para varepsilon=10^-6.
Resposta
A equação ln(x)=1/x tem uma única raiz em (1,2), aproximadamente
x^*approx1.7632228
Para erro <10^-4 na bissecção são necessárias 14 iterações;
para erro <10^-6:
- Bissecção → 20 iterações
- Newton → 4 iterações