Considere a equação log (x)=1x.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente trabalhar com a equação
log(x)=1x,, x>0
Isso cai em “métodos numéricos de busca de raízes” (função contínua, mudança de sinal, bissecção, Newton etc.).
O que vamos precisar:
- Entender que queremos achar x tal que f(x)=ln(x)-1/x=0.
- Saber que se f muda de sinal num intervalo [a,b], existe raiz (Teorema do Valor Intermediário).
- Fórmula de número de iterações na bissecção: b-a2^n<=varepsilon
  • Método de Newton: xk+1=xk-f(xk)f'(xk) com f'(x)=1/x+1/x^2.

Passo 2

Primeiro, “localizar” a raiz.
  1. Definimos f(x)=ln(x)-1x
    2) Notamos que, para xto0^+, f(x)to-infty; para xto+infty, f(x)to+infty.
    3) Calculamos f(1)=ln(1)-1=-1<0 e f(2)=ln(2)-1/2approx0.193>0.
    Como f é contínua e muda de sinal em [1,2], existe exatamente UMA raiz ali.

Passo 3

Queremos erro menor que 10^-4 pela bissecção em [1,2].
Teoria do erro na bissecção:
b-a2^n<=10^-4Longrightarrow 2^n>=2-110^-4=10^4
Logo
n>=log2(10^4)=4ln10ln2approx13.29
Arredondando pra cima, precisamos de 14 iterações para garantir erro abaixo de 10^-4.

Passo 4

Agora vamos aproximar a raiz com erro <10^-6 usando:
A) Bissecção B) Newton
A) Bissecção em [1,2]:
Usamos a mesma fórmula: 12^n<=10^-6implies n>=log2(10^6)approx19.93
Logo precisamos de 20 iterações.
B) Método de Newton, partindo de x0=1.5:
  • f(x)=ln(x)-1/x, f'(x)=1/x+1/x^2.
  • Iteramos xk+1=xk-f(xk)f'(xk).
    Num programa (ou na mão, passo a passo) vemos que em 4 iterações já chegamos a
xapprox1.7632228,,l|xk-x^*r|<10^-6,
Comparando:
  • Bissecção: 20 iterações para varepsilon=10^-6.
  • Newton: 4 iterações para varepsilon=10^-6.

Resposta

A equação ln(x)=1/x tem uma única raiz em (1,2), aproximadamente
x^*approx1.7632228
Para erro <10^-4 na bissecção são necessárias 14 iterações;
para erro <10^-6:
- Bissecção → 20 iterações
- Newton → 4 iterações

Exercícios relacionados