Considere a equação x ln (x)-14=0.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza, a questão é a seguinte: temos a equação
.
Conteúdo envolvido: métodos de localização de raízes de uma função (bissecção) e métodos de convergência rápida (Newton).
O que vamos precisar:
  • Entender o domínio de (aqui por causa de ).
  • Saber avaliar e sua derivada .
  • Fórmula da bissecção e do método de Newton.

Passo 2

Primeiro, localizar/isolar a raiz.
  1. Testa valores:

    • Logo a raiz está em .
  2. A gente afina um pouco mais pra economizar iterações:

    • Então uma boa “caixa” inicial é .

Passo 3

Agora, quantas iterações da bissecção pra garantir erro < b-a2^n<=10^-4 ?
Regra geral: depois de 2^n >= 410^-4=4times10^4 =40000 Longrightarrow n>= log2(40000)approx15.3 passos o erro é
n=16
Aqui . Logo queremos
Como tem que ser inteiro, precisamos de
iterações de bissecção para .

Passo 4

Calcular uma solução com erro < 2^n>= 410^-6=4times10^6 Longrightarrow n>= log2(4times10^6)approx21.93 pelos dois métodos e comparar:
  1. Bissecção:
    Mesma fórmula, agora xk+1 = xk - f(xk)f'(xk) = xk - xkln(xk)-141+ln(xk) .
    ou seja, iterações.
  2. Newton-Raphson:
    Iteração
    Começando em :
    A partir de a diferença já fica abaixo de .
    Então Newton levou 3 iterações para atingir .

Resposta

Raiz aproximada:
xapprox7.12459363
Iterações necessárias:
  • Bissecção: 16 iterações para erro < , 22 iterações para erro < .
  • Newton-Raphson: 3 iterações para erro < .

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