Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza, a questão é a seguinte: temos a equação
.
Conteúdo envolvido: métodos de localização de raízes de uma função (bissecção) e métodos de convergência rápida (Newton).
O que vamos precisar:
Conteúdo envolvido: métodos de localização de raízes de uma função (bissecção) e métodos de convergência rápida (Newton).
O que vamos precisar:
- Entender o domínio de
(aqui por causa de ). - Saber avaliar
e sua derivada . - Fórmula da bissecção e do método de Newton.
Passo 2
Primeiro, localizar/isolar a raiz.
- Testa valores:
-
-
Logo a raiz está em.
-
- A gente afina um pouco mais pra economizar iterações:
-
-
Então uma boa “caixa” inicial é.
-
Passo 3
Agora, quantas iterações da bissecção pra garantir erro <
?
Regra geral: depois de passos o erro é
Regra geral: depois de
Aqui
. Logo queremos
Como
tem que ser inteiro, precisamos de
iterações de bissecção para
.
Passo 4
Calcular uma solução com erro <
pelos dois métodos e comparar:
-
Bissecção:
Mesma fórmula, agora. ou seja,iterações. -
Newton-Raphson:
IteraçãoComeçando em: A partir dea diferença já fica abaixo de .
Então Newton levou 3 iterações para atingir. -
Resposta
Raiz aproximada:
Iterações necessárias:
- Bissecção: 16 iterações para erro <
, 22 iterações para erro < . - Newton-Raphson: 3 iterações para erro <
.