Considere a equação raizx=cos (x). Use o método da bisseção com intervalo inicial [0,1] para calcular a aproximação x4 da solução desta equação.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver a equação
raizx = cos(x)
usando o método da bisseção no intervalo inicial f(x) = raizx - cos(x) e encontrar a aproximação (ou seja, o ponto médio depois de 4 iterações).
Conteúdo: é um problema de Métodos Numéricos (bisseção). Vamos precisar definir a função
e ir “cortando” o intervalo pela metade, escolhendo sempre a subparte onde o sinal de muda.

Passo 2

Primeiro, explicando a teoria rapidinho: o método da bisseção exige que m = a+b2 e f(x) = raizx - cos(x) tenham sinais opostos em f(0) = 0 - 1 = -1,. Aí você calcula o ponto médio
f(1) = 1 - cos(1)approx 1 - 0,5403 = +0,4597
e vê se o zero está em ou pela troca de sinal de . A cada iteração você reduz pela metade o comprimento do intervalo.
Aqui:
a = 0, b = 1
Definimos
Calculando nas extremidades:
Como , há raiz em .

Passo 3

1ª iteração:
m₁ = (0 + 1)/2 = 0{,}5
f(0,5) = raiz0.5 - cos(0.5) approx 0.7071 - 0.8776 = -0.1705
Sinal de é negativo e de também, então a raiz está em .
Agora a = 0{,}5, b = 1.

Passo 4

2ª iteração:
m₂ = (0{,}5 + 1)/2 = 0{,}75
f(0,75) = raiz0.75 - cos(0.75) approx 0.8660 - 0.7317 = +0.1343
Aqui e , então a raiz está em .
Agora a = 0{,}5, b = 0{,}75.

Passo 5

3ª iteração:
m₃ = (0{,}5 + 0{,}75)/2 = 0{,}625
f(0,625) = raiz0.625 - cos(0.625) approx 0.7906 - 0.8110 = -0.0204
Como e , a raiz está em .
Agora a = 0{,}625, b = 0{,}75.

Passo 6

4ª iteração:
m₄ = (0{,}625 + 0{,}75)/2 = 0{,}6875
f(0,6875) = raiz0.6875 - cos(0.6875) approx 0.8292 - 0.7721 = +0.0571
Vimos que boxedx4 = 0,6875 e , então a raiz está em . O ponto médio desta 4ª iteração é

Resposta

A aproximação obtida pelo método da bisseção é 0,6875.

Exercícios relacionados