A raiz de uma função pode ser aproximada pela raiz de seu polinômio de interpolação. Sabendo que a função
possui uma única raiz
e que:
Use uma parábola para determinar uma aproximação
. Encontre também um limitante superior para o erro cometido.
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente aproxime a raiz de
usando o polinômio de interpolação de grau 2 (ou seja, uma parábola) baseado nos pontos
Conteúdo principal: interpolação de Lagrange e análise de erro via resto de Taylor.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Fórmulas de Lagrange para montar o polinômio
. - Resolver
pra achar a aproximação da raiz. - Usar o termo de resto da interpolação (derivada de ordem 3) e o Teorema do Valor Médio pra dar um limitante pro erro na raiz.
Passo 2
Primeiro, construímos o polinômio de Lagrange:
Para cada ponto definimos
Para cada ponto
Em particular:
Então o polinômio é
Se você multiplicar e somar os termos vai achar, arredondando um pouco,
Passo 3
Agora a gente resolve
, i.e.
pela fórmula de Bhaskara:
Calculando dá duas raízes, mas só uma cai em
, que é
Passo 4
A gente precisa agora um limitante superior para o erro
.
- O resto da interpolação é
para algum
2) Como
aqui
.
3) Avaliando o fator cúbico em dá
3) Avaliando o fator cúbico em
logo
- Por fim, pelo Teorema do Valor Médio, existe
entre e a raiz exata tal que
Mas
Logo
Resposta
A aproximação da raiz é
e o erro na raiz atende