A raiz de uma função pode ser aproximada pela raiz de seu polinômio de interpolação. Sabendo que a função f(x)=x-e^-x possui uma única raiz barx in[0,1] e que:
c|ccc x & 0 & 0.5 & 1 hline f(x) & -1 & -0.1065 & 0.6321
Use uma parábola para determinar uma aproximação barx. Encontre também um limitante superior para o erro cometido.

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente aproxime a raiz de
f(x)=x-e^-x
usando o polinômio de interpolação de grau 2 (ou seja, uma parábola) baseado nos pontos
(0,,-1), (0.5,,-0.1065), (1,,0.6321),
Conteúdo principal: interpolação de Lagrange e análise de erro via resto de Taylor.
O que vamos precisar:
  1. Fórmulas de Lagrange para montar o polinômio P2(x).
  2. Resolver P2(x)=0 pra achar a aproximação da raiz.
  3. Usar o termo de resto da interpolação (derivada de ordem 3) e o Teorema do Valor Médio pra dar um limitante pro erro na raiz.

Passo 2

Primeiro, construímos o polinômio de Lagrange:
Para cada ponto xiin0,0.5,1 definimos
Li(x)=prodjneq ix-xjxi-xj,
Em particular:
L0(x)=(x-0.5)(x-1)(0-0.5)(0-1)=2,(x-0.5)(x-1),
L1(x)=(x-0)(x-1)(0.5-0)(0.5-1)=-4,x(x-1),
L2(x)=(x-0)(x-0.5)(1-0)(1-0.5)=2,x(x-0.5)
Então o polinômio é
P2(x)=-1cdot L0(x);+;-0.1065cdot L1(x);+;0.6321cdot L2(x)
Se você multiplicar e somar os termos vai achar, arredondando um pouco,
boxedP2(x)=-0.3098,x^2+1.9419,x-1

Passo 3

Agora a gente resolve P2(x)=0, i.e.
-0.3098,x^2+1.9419,x-1=0
pela fórmula de Bhaskara:
x=-1.9419pmraiz1.9419^2-4(-0.3098)(-1)2(-0.3098),
Calculando dá duas raízes, mas só uma cai em [0,1], que é
boxedbar xapprox0.566

Passo 4

A gente precisa agora um limitante superior para o erro lvert x^*-bar xrvert.
  1. O resto da interpolação é
R2(x)=f(x)-P2(x)=f^(3)(xi)3!(x-0)(x-0.5)(x-1)
para algum xiin[0,1].
2) Como
f^(3)(x)=d^3dx^3(x-e^-x)=e^-x,
aqui max[0,1]|f^(3)|=e^0=1.
3) Avaliando o fator cúbico em x=bar xapprox0.566
|(0.566)(0.566-0.5)(0.566-1)|approx0.0162,
logo
|R2(bar x)|<=16,0.0162approx0.0027
  1. Por fim, pelo Teorema do Valor Médio, existe eta entre bar x e a raiz exata x^* tal que
f(bar x)-f(x^*)=f'(eta),(bar x-x^*),
Mas f(x^*)=0 e em [0,1] temos
f'(x)=1+e^-x>=1+e^-1approx1.3679
Logo
|bar x-x^*|<=|f(bar x)|min f'=|R2(bar x)|1.3679<=0.00271.3679approx0.0020

Resposta

A aproximação da raiz é bar xapprox0.566 e o erro na raiz atende
|bar x-x^*|<=2times10^-3,

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