Use o método da bisseção para calcular aproximadamente a menor raíz positiva da equação
com um êrro menor que
.
Passo 1
Tranquilo! O enunciado pede pra gente usar o método da bisseção (que é um método numérico de encontrar raízes) e aproximar a menor raíz positiva da equação
com erro menor que
.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A função
. - Um intervalo inicial
onde e tenham sinais opostos (garantindo uma raiz). - Repetir o processo de “cortar o intervalo ao meio” até que a largura seja pequena o bastante.
Passo 2
Primeiro, a gente escolhe um intervalo em que a função mude de sinal:
-
-
Logo existe raiz em.
Passo 3
O critério de erro do bisseção diz que, após
iterações, a largura do intervalo é
Queremos
, ou seja
Isto diz que precisamos de pelo menos 7 iterações, mas a gente pode parar assim que a largura ficar menor que
, porque o erro máximo é metade disso.
Passo 4
Bora às iterações—em cada passo a gente calcula
e escolhe o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal:
-
→ ,
→ novo intervalo . -
→ ,
→ . -
→ ,
→ . -
→ ,
→ . -
→ ,
→ . -
→ ,
→ .
Agora a largura do intervalo é
e o erro máximo (metade) é
. Paramos aqui.
Passo 5
Aproximação final da raiz é o ponto médio da última iteração:
com erro garantido menor que
.
Resposta
A menor raiz positiva aproximada é