Use o método da bisseção para calcular aproximadamente a menor raíz positiva da equação
x sen(x)-0,1=0
com um êrro menor que epsilon=0,01.

Passo 1

Tranquilo! O enunciado pede pra gente usar o método da bisseção (que é um método numérico de encontrar raízes) e aproximar a menor raíz positiva da equação
xsin(x)-0.1=0
com erro menor que .
O que vamos precisar:
  • A função .
  • Um intervalo inicial onde e tenham sinais opostos (garantindo uma raiz).
  • Repetir o processo de “cortar o intervalo ao meio” até que a largura seja pequena o bastante.

Passo 2

Primeiro, a gente escolhe um intervalo em que a função mude de sinal:

  • Logo existe raiz em .

Passo 3

O critério de erro do bisseção diz que, após b-a2^n iterações, a largura do intervalo é
2^n>100Longrightarrow n>log2(100)approx6.64
Queremos , ou seja
Isto diz que precisamos de pelo menos 7 iterações, mas a gente pode parar assim que a largura ficar menor que , porque o erro máximo é metade disso.

Passo 4

Bora às iterações—em cada passo a gente calcula
c=a+b2, f(c),
e escolhe o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal:
  1. 0.328125-0.3125=0.015625<0.02 ,
    → novo intervalo .
  2. ,
    .
  3. ,
    .
  4. ,
    .
  5. ,
    .
  6. ,
    .
Agora a largura do intervalo é
e o erro máximo (metade) é . Paramos aqui.

Passo 5

Aproximação final da raiz é o ponto médio da última iteração:
xapprox0.328125,
com erro garantido menor que .

Resposta

A menor raiz positiva aproximada é
boxedxapprox0.3281

Exercícios relacionados