Considere a equação
.
(a) Tomando
o que acontece ao aplicar o método de Newton?
(b) Encontre um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz de
. Tome
neste intervalo e obtenha uma aproximação da raiz com precisão
.
(a) Tomando
(b) Encontre um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) tomar
e analisar o que acontece ao aplicar o método de Newton; - (b) encontrar um intervalo de comprimento
que contenha uma raiz de ; tomar nesse intervalo e obter uma aproximação da raiz com precisão .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função explícita
está dada. - Para (a) é dado
. - Para (b) precisamos usar um intervalo de comprimento
que contenha uma raiz (ou seja, um intervalo tal que mude de sinal nele), escolher nesse intervalo e aplicar Newton até obter precisão .
Passo 2
Vou explicar o método de Newton com calma (a teoria que se usa na prova).
- O método de Newton é uma técnica iterativa para aproximar raízes de uma função
. A iteração é dada por
onde
é a derivada de
.
-
O que significa cada termo:
-
é a aproximação atual da raiz. -
é o valor da função nessa aproximação; se for zero, já encontramos a raiz. -
é a derivada; ela indica a inclinação da reta tangente em . - A razão
é a correção (quanto subtrair de ) obtida pela aproximação linear pela tangente.
-
-
Observações importantes (úteis para prova):
- É necessário que
para aplicar a fórmula. - Newton costuma convergir muito rápido (quadraticamente) quando a aproximação inicial está suficientemente próxima de uma raiz simples; porém pode falhar (não convergir) ou entrar em ciclos se a escolha de
for ruim ou se a raiz tiver multiplicidade maior que . - Critério prático de parada: pode-se parar quando
(aproximação da raiz com erro em menor que ), ou quando . Aqui usaremos .
- É necessário que
Passo 3
Vamos aplicar isso ao caso (a) com
. Primeiro calculemos a derivada:
Agora avalie em
:
A iteração de Newton dá
Agora avalie em
:
Aplicando Newton outra vez:
Observação: obtivemos
,
,
. Ou seja, a sequência entra num ciclo de período
:
. Portanto o método não converge para uma raiz — ele fica oscilando entre
e
.
Passo 4
Interpretação e razão do que aconteceu em (a):
- O par
forma um ciclo do mapeamento de Newton porque as tangentes nesses pontos levam exatamente ao outro ponto do par. Não há convergência porque nenhuma dessas aproximações é uma raiz de . - Em provas, sempre que Newton com uma escolha inicial entrar em ciclo ou repetir valores sem chegar a
, concluímos que não converge com essa escolha de .
Passo 5
Agora (b): precisamos de um intervalo de comprimento
que contenha uma raiz de
. Usamos o Teorema do Valor Intermediário (se
é contínua num intervalo e muda de sinal, existe raiz nele). Avaliamos
em inteiros próximos:
Como
e
têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em
. Esse intervalo tem comprimento
, logo serve. Concluímos que
contém uma raiz real de
.
Passo 6
Escolha do ponto inicial
no intervalo
:
- Uma escolha natural e equilibrada é o ponto médio
(escrevo com vírgula conforme pedido). Vou tomar e aplicar Newton até , com .
Passo 7
Aplicando Newton com
.
Passo a passo das iterações (calculei as contas e mostro as frações exatas quando simples, e aproximações decimais com precisão suficiente):
- Iteração 0 → 1:
- Iteração 1 → 2:
Aqui podemos usar frações exatas para. Calculando e em obtém-se (cálculo exato mostrado):
Correção:
Diferença
, ainda não suficiente.
-
Iteração 2 → 3:
Avaliando aproximadamente em: AssimDiferença, ainda não atingimos a precisão pedida. -
Iteração 3 → 4:
Pelo comportamento quadrático do método de Newton e por estimativa com(a segunda derivada é ), podemos estimar para algumentre e . Então LogoDiferença. Portanto já satisfazemos o critério .
Conclusão prática: a iteração fornece a aproximação da raiz
com erro em
menor que
. (Para verificação,
é da ordem de
, compatível com a precisão.)
Resposta
(a) O método de Newton com
entra num ciclo de período
:
, portanto não converge.
(b) O intervalo tem comprimento
e contém uma raiz. Tomando
e aplicando Newton obtém-se a raiz aproximada
com precisão
.
(b) O intervalo