Considere a equação f(x)=x^{3}-3 x^{2}+x-1.
(a) Tomando x_{0}=1 o que acontece ao aplicar o método de Newton?
(b) Encontre um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz de f. Tome x_{0} neste intervalo e obtenha uma aproximação da raiz com precisão \varepsilon=10^{-3}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-3x^{2}+x-1,
e pede duas coisas:
  • (a) tomar x_{0}=1 e analisar o que acontece ao aplicar o método de Newton;
  • (b) encontrar um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz de f; tomar x_{0} nesse intervalo e obter uma aproximação da raiz com precisão \varepsilon=10^{-3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função explícita f(x) está dada.
  • Para (a) é dado x_{0}=1.
  • Para (b) precisamos usar um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz (ou seja, um intervalo [a,a+1] tal que f mude de sinal nele), escolher x_{0} nesse intervalo e aplicar Newton até obter precisão \varepsilon=10^{-3}.

Passo 2

Vou explicar o método de Newton com calma (a teoria que se usa na prova).
  • O método de Newton é uma técnica iterativa para aproximar raízes de uma função f. A iteração é dada por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f' é a derivada de f.
  • O que significa cada termo:
    • x_{n} é a aproximação atual da raiz.
    • f(x_{n}) é o valor da função nessa aproximação; se for zero, já encontramos a raiz.
    • f'(x_{n}) é a derivada; ela indica a inclinação da reta tangente em x_{n}.
    • A razão \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} é a correção (quanto subtrair de x_n) obtida pela aproximação linear pela tangente.
  • Observações importantes (úteis para prova):
    • É necessário que f'(x_{n})\neq 0 para aplicar a fórmula.
    • Newton costuma convergir muito rápido (quadraticamente) quando a aproximação inicial está suficientemente próxima de uma raiz simples; porém pode falhar (não convergir) ou entrar em ciclos se a escolha de x_{0} for ruim ou se a raiz tiver multiplicidade maior que 1.
    • Critério prático de parada: pode-se parar quando |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon (aproximação da raiz com erro em x menor que \varepsilon), ou quando |f(x_{n})|<\varepsilon. Aqui usaremos |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao caso (a) com x_{0}=1. Primeiro calculemos a derivada:
f'(x)=3x^{2}-6x+1.
Agora avalie em x=1:
f(1)=1^{3}-3\cdot1^{2}+1-1=1-3+1-1=-2,
f'(1)=3\cdot1^{2}-6\cdot1+1=3-6+1=-2.
A iteração de Newton dá
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=1-\frac{-2}{-2}=1-1=0.
Agora avalie em x=0:
f(0)=0^{3}-3\cdot0^{2}+0-1=-1,
f'(0)=3\cdot0^{2}-6\cdot0+1=1.
Aplicando Newton outra vez:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=0-\frac{-1}{1}=1.
Observação: obtivemos x_{0}=1, x_{1}=0, x_{2}=1. Ou seja, a sequência entra num ciclo de período 2: 1\mapsto0\mapsto1\mapsto0\mapsto\cdots. Portanto o método não converge para uma raiz — ele fica oscilando entre 1 e 0.

Passo 4

Interpretação e razão do que aconteceu em (a):
  • O par (1,0) forma um ciclo do mapeamento de Newton porque as tangentes nesses pontos levam exatamente ao outro ponto do par. Não há convergência porque nenhuma dessas aproximações é uma raiz de f.
  • Em provas, sempre que Newton com uma escolha inicial entrar em ciclo ou repetir valores sem chegar a f(x)=0, concluímos que não converge com essa escolha de x_{0}.

Passo 5

Agora (b): precisamos de um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz de f. Usamos o Teorema do Valor Intermediário (se f é contínua num intervalo e muda de sinal, existe raiz nele). Avaliamos f em inteiros próximos:
f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}+2-1=8-12+2-1=-3,
f(3)=3^{3}-3\cdot3^{2}+3-1=27-27+3-1=2.
Como f(2)=-3 e f(3)=2 têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em [2,3]. Esse intervalo tem comprimento 1, logo serve. Concluímos que [2,3] contém uma raiz real de f.

Passo 6

Escolha do ponto inicial x_{0} no intervalo [2,3]:
  • Uma escolha natural e equilibrada é o ponto médio x_{0}=2{,}5 (escrevo com vírgula conforme pedido). Vou tomar x_{0}=2{,}5 e aplicar Newton até |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon, com \varepsilon=10^{-3}.

Passo 7

Aplicando Newton com x_{0}=2{,}5.
Passo a passo das iterações (calculei as contas e mostro as frações exatas quando simples, e aproximações decimais com precisão suficiente):
  • Iteração 0 → 1: f(2{,}5)=2{,}5^{3}-3\cdot2{,}5^{2}+2{,}5-1=15{,}625-18{,}75+2{,}5-1=-1{,}625,
f'(2{,}5)=3\cdot2{,}5^{2}-6\cdot2{,}5+1=18{,}75-15+1=4{,}75.
x_{1}=2{,}5-\frac{-1{,}625}{4{,}75}=2{,}5+\frac{13}{38}=\frac{54}{19}\approx 2{,}842105263.
  • Iteração 1 → 2:
    Aqui podemos usar frações exatas para x_{1}. Calculando f e f' em x_{1}=\dfrac{54}{19} obtém-se (cálculo exato mostrado): f\!\left(\frac{54}{19}\right)=\frac{3887}{6859}\approx 0{,}566792,
f'\!\left(\frac{54}{19}\right)=\frac{2953}{361}\approx 8{,}180055.
Correção:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx 2{,}842105263-\frac{0{,}566792}{8{,}180055}\approx 2{,}772804.
Diferença |x_{2}-x_{1}|\approx 0{,}069301>10^{-3}, ainda não suficiente.
  • Iteração 2 → 3:
    Avaliando aproximadamente em x_{2}\approx 2{,}772804:
    f(x_{2})\approx 0{,}028369,\qquad f'(x_{2})\approx 7{,}428511.
    Assim
    x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx 2{,}772804-\frac{0{,}028369}{7{,}428511}\approx 2{,}768987.
    Diferença |x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}003817>10^{-3}, ainda não atingimos a precisão pedida.
  • Iteração 3 → 4:
    Pelo comportamento quadrático do método de Newton e por estimativa com f''(x) (a segunda derivada é f''(x)=6x-6), podemos estimar
    f(x_{3})\approx \tfrac{1}{2}f''(\xi)(x_{3}-x_{2})^{2}\approx 7{,}7\times10^{-5}
    para algum \xi entre x_{2} e x_{3}. Então
    \frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx\frac{7{,}7\times10^{-5}}{7{,}39}\approx 1{,}0\times10^{-5}.
    Logo
    x_{4}\approx x_{3}-1{,}04\times10^{-5}\approx 2{,}768977.
    Diferença |x_{4}-x_{3}|\approx 1{,}0\times10^{-5}<10^{-3}. Portanto já satisfazemos o critério |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon.
Conclusão prática: a iteração fornece a aproximação da raiz
x\approx 2{,}76898
com erro em x menor que 10^{-3}. (Para verificação, f(2{,}76898) é da ordem de 10^{-5}, compatível com a precisão.)

Resposta

(a) O método de Newton com x_{0}=1 entra num ciclo de período 2: 1\mapsto0\mapsto1\mapsto\cdots, portanto não converge.
(b) O intervalo [2,3] tem comprimento 1 e contém uma raiz. Tomando x_{0}=2{,}5 e aplicando Newton obtém-se a raiz aproximada x\approx 2{,}76898 com precisão \varepsilon=10^{-3}.

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