Utilize o método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10^{-4} para os problemas a seguir:
x^{3}-2 x^{2}-5=0, \quad x_{0}=2.

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o método de Newton para encontrar uma solução da equação
x^{3}-2x^{2}-5=0
com precisão 10^{-4}, usando o palpite inicial x_{0}=2.
Informações dadas:
  • Equação: x^{3}-2x^{2}-5=0.
  • Palpite inicial: x_{0}=2.
  • Precisão desejada: 10^{-4} (vou usar o critério |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-4}).

Passo 2

O método de Newton aproxima a raiz de f(x)=0 construindo tangentes sucessivas. A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. A ideia: aproximar f por sua reta tangente em x_n e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação.
Explicando as peças:
  • f(x) é a função cuja raiz procuramos. Aqui f(x)=x^{3}-2x^{2}-5.
  • f'(x) indica a inclinação da tangente em x. Calcula-se derivando f.

Passo 3

Calcular f e f' explicitamente:
f(x)=x^{3}-2x^{2}-5, \qquad f'(x)=3x^{2}-4x.
Agora aplicamos a fórmula iterativa com x_{0}=2. Em cada iteração eu mostro como calculei f(x_{n}), f'(x_{n}) e a correção \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 4

Iteração 1:
f(2)=2^{3}-2\cdot2^{2}-5=8-8-5=-5,
f'(2)=3\cdot2^{2}-4\cdot2=12-8=4.
Aplicando Newton:
x_{1}=2-\frac{-5}{4}=2+1,25=3,25.

Passo 5

Iteração 2:
Calcular f(3{,}25) e f'(3{,}25):
f(3{,}25)=3{,}25^{3}-2\cdot3{,}25^{2}=34{,}328125-21{,}125-5=8{,}203125,
f'(3{,}25)=3\cdot3{,}25^{2}-4\cdot3{,}25=31{,}6875-13=18{,}6875.
Correção:
\frac{f(3{,}25)}{f'(3{,}25)}=\frac{8{,}203125}{18{,}6875}\approx0{,}4389313.
Logo
x_{2}=3{,}25-0{,}4389313\approx2{,}81103678.
(Nota: o valor exato racional que obtém-se aqui é x_{2}=\dfrac{1681}{598}\approx2{,}81103678.)

Passo 6

Iteração 3:
Primeiro calcular f(x_{2}) e f'(x_{2}) (usando x_{2}\approx2{,}81103678):
x_{2}^{2}\approx7{,}90192778, \qquad x_{2}-2\approx0{,}81103678.
Então
f(x_{2})=x_{2}^{2}(x_{2}-2)-5\approx7{,}90192778\cdot0{,}81103678-5\approx1{,}4087533,
f'(x_{2})=3x_{2}^{2}-4x_{2}\approx3\cdot7{,}90192778-4\cdot2{,}81103678\approx12{,}4616362.
Correção:
\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx\frac{1{,}4087533}{12{,}4616362}\approx0{,}113107.
Logo
x_{3}=x_{2}-0{,}113107\approx2{,}6979298.

Passo 7

Iteração 4:
Com x_{3}\approx2{,}6979298,
x_{3}^{2}\approx7{,}2788263, \qquad x_{3}-2\approx0{,}6979298.
f(x_{3})=x_{3}^{2}(x_{3}-2)-5\approx7{,}2788263\cdot0{,}6979298-5\approx0{,}0801097,
f'(x_{3})=3x_{3}^{2}-4x_{3}\approx3\cdot7{,}2788263-4\cdot2{,}6979298\approx11{,}0447589.
Correção:
\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx\frac{0{,}0801097}{11{,}0447589}\approx0{,}007256.
Portanto
x_{4}=x_{3}-0{,}007256\approx2{,}690674.

Passo 8

Iteração 5:
Com x_{4}\approx2{,}690674,
x_{4}^{2}\approx7{,}2396929, \qquad x_{4}-2\approx0{,}690674.
f(x_{4})=x_{4}^{2}(x_{4}-2)-5\approx7{,}2396929\cdot0{,}690674-5\approx0{,}00027107,
f'(x_{4})=3x_{4}^{2}-4x_{4}\approx3\cdot7{,}2396929-4\cdot2{,}690674\approx10{,}956383.
Correção:
\frac{f(x_{4})}{f'(x_{4})}\approx\frac{0{,}00027107}{10{,}956383}\approx2{,}474\times10^{-5}.
Logo
x_{5}=x_{4}-2{,}474\times10^{-5}\approx2{,}69064926.

Passo 9

Critério de parada: calcular |x_{5}-x_{4}|\approx2{,}474\times10^{-5}. Como
|x_{5}-x_{4}|\approx2{,}474\times10^{-5}<10^{-4},
atingimos a precisão pedida. Podemos também verificar que f(x_{5}) é muito próximo de zero (ordem de 10^{-9} pelo teorema do valor linear), confirmando a boa aproximação.

Resposta

\;x\approx2,69065

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