Utilize o método de Newton para encontrar soluções com precisão de
para os problemas a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o método de Newton para encontrar uma solução da equação
com precisão
, usando o palpite inicial
.
Informações dadas:
- Equação:
. - Palpite inicial:
. - Precisão desejada:
(vou usar o critério ).
Passo 2
O método de Newton aproxima a raiz de
construindo tangentes sucessivas. A fórmula de iteração é
onde
é a derivada de
. A ideia: aproximar
por sua reta tangente em
e tomar a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação.
Explicando as peças:
-
é a função cuja raiz procuramos. Aqui . -
indica a inclinação da tangente em . Calcula-se derivando .
Passo 3
Calcular
e
explicitamente:
Agora aplicamos a fórmula iterativa com
. Em cada iteração eu mostro como calculei
,
e a correção
.
Passo 4
Iteração 1:
Aplicando Newton:
Passo 5
Iteração 2:
Calcular e
:
Calcular
Correção:
Logo
(Nota: o valor exato racional que obtém-se aqui é
.)
Passo 6
Iteração 3:
Primeiro calcular e
(usando
):
Primeiro calcular
Então
Correção:
Logo
Passo 7
Iteração 4:
Com ,
Com
Correção:
Portanto
Passo 8
Iteração 5:
Com ,
Com
Correção:
Logo
Passo 9
Critério de parada: calcular
. Como
atingimos a precisão pedida. Podemos também verificar que
é muito próximo de zero (ordem de
pelo teorema do valor linear), confirmando a boa aproximação.