Use o Método de Newton para estimar o valor de 2 \pi precisão 10^{-5}.
Passo 1
O enunciado pede: usar o Método de Newton para estimar o valor de 2\pi com precisão 10^{-5}.
Informações relevantes dadas:
Quantidade a estimar: 2\pi.
Precisão desejada: 10^{-5} (ou seja, erro absoluto menor que 10^{-5}).
Método indicado: Método de Newton (iterativo).
Passo 2
O que é o Método de Newton (explicação didática e derivação):\n
Dado um f(x) suave e uma aproximação inicial x_{n} de uma raiz de f, o Método de Newton lineariza f em torno de x_{n} usando a reta tangente e usa a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}. A equação da reta tangente em x_{n} é
y = f(x_{n}) + f'(x_{n})(x - x_{n}).
Para encontrar onde essa reta corta o eixo x faz-se y=0 e resolve-se para x, obtendo a iteração de Newton:
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Explicando cada símbolo:
f(x) é a função cuja raiz procuramos (a raiz é o x tal que f(x)=0).
f'(x) é a derivada de f (inclinação da reta tangente).
x_{n} é a aproximação atual; x_{n+1} é a próxima aproximação calculada pela fórmula acima.
Critério de parada (prático e seguro):\n
Uma forma prática é parar quando |x_{n+1}-x_{n}|<\text{tol} com \text{tol} escolhido, aqui \text{tol}=10^{-5}.
Outra forma mais rigorosa é verificar |f(x_{n+1})|<\text{tol}_f ou, se for possível, comparar com o valor exato conhecido para checar o erro absoluto. Vou usar a checagem final do erro absoluto em relação a 2\pi para garantir que a precisão pedida foi alcançada.
Passo 3
Escolha de f e fórmula de iteração adequada ao problema:\n
Queremos uma raiz igual a 2\pi. Uma escolha natural é usar
f(x)=\sin(x),
porque \sin(x)=0 exatamente quando x=k\pi, e portanto x=2\pi é uma raiz de f. A derivada é
f'(x)=\cos(x).
Aplicando a fórmula de Newton obtemos a iteração simples
Comentário didático: usamos \sin porque suas raízes são fáceis de identificar; a derivada \cos não é zero em x=2\pi (tem valor 1), portanto a convergência local de Newton é quadrática e bem comportada perto de 2\pi.
Passo 4
Escolha de chute inicial e primeira iteração (passo a passo):\n
Escolho um chute inicial razoável e simples: x_{0}=6 (porque 2\pi\approx6{,}28). Agora calculamos a primeira iteração usando
x_{1} = x_{0} - \tan(x_{0}).
Calculos (valores numéricos mostrados com várias casas para precisão):
Segunda iteração (expliquei a aproximação detalhadamente, usando que x_{1} está muito próximo de 2\pi):\n
É conveniente avaliar a diferença entre x_{1} e 2\pi para aproveitar aproximações de pequeno ângulo:
Esse erro absoluto é muito menor que a precisão exigida 10^{-5}. Portanto x_{2} já atende ao critério pedido.
Observação prática: a convergência quadrática do Método de Newton fez com que em apenas duas iterações (partindo de x_{0}=6) se alcançasse um erro da ordem de 10^{-7}.