Considere uma equação transcendental da forma f(barx)=0, onde f(x) é uma função de R em R.
Explicar as condições de convergência deste método e utilize-o para calcular uma estimativa fracionaria da forma p / q em Q de raiz3 com erro menor que 10^-2.

Passo 1

Então, o exercício pede duas coisas: primeiro a gente explica as condições de convergência do Método de Newton (que é um método pra achar raiz de uma equação transcendental ), e depois usa esse mesmo Método de Newton pra encontrar uma fração que aproxime com erro menor que .
Conteúdo: Método de Newton, derivadas (vamo precisar de e ).

Passo 2

Condições de convergência do Método de Newton (forma bem pé-no-chão):
  1. maxxin Il|f(x),f''(x)[f'(x)]^2r| = K < 1, tem que ser contínua e ter segunda derivada contínua num intervalo que contenha a raiz .
  2. .
  3. A gente escolhe um chute inicial “perto” da raiz. Se essas condições rolarem num intervalo onde
o método bate certinho e converge (quadraticamente) pra .

Passo 3

Agora vamos a f(x)=x^2-3, f'(x)=2x . Definimos
xn+1 ;=; xn - f(xn)f'(xn) ;=;xn + tfrac3xn2
A fórmula de Newton vira
x1 = 2 + tfrac322 = 2 + 1.52 = 1.75 = 74
  1. Escolhemos x2 = tfrac74 + tfrac3tfrac742 = tfrac74 + tfrac1272 = tfrac49+48282 = tfrac97282 = 9756 .
  2. Calculamos l|tfrac9756 - raiz3r|approx9.3times10^-5 < 10^-2 O erro é , ainda grande.
  3. Vamos a mais uma iteração (e, de novo, fica tudo em fração): Agora o erro é
Pronto: em duas iterações já alcançamos a precisão pedida, e a aproximação é a fração .

Resposta

A estimativa fracionária de boxed9756 com erro usando o Método de Newton é

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