Seja a função de
em
definida por
Mostrar que
admite um único zero (denotado
) dentro do intervalo
.
Mostrar que
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos a função
e a gente precisa mostrar que ela tem exatamente um zero (chamado
) em
.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário) para garantir existência de raiz quando a função muda de sinal.
- Derivada e monotonicidade para garantir que só exista UMA raiz.
Tudo isso pressupõe que o aluno conheça o básico de contínua, derivada e sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos usar Bolzano para ter pelo menos UMA raiz.
- Verificar que
é contínua em .
– Comoe são contínuas no intervalo, também é. - Calcular
e :
Como
e
, pela Bolzano existe pelo menos um
tal que
.
Passo 3
Agora, para mostrar que só existe essa UMA raiz, a ideia é provar que
é estritamente crescente em
.
- Derivada de
: - Verificar
em todo .
– No menor ponto do intervalo,: – Para , só cresce e , então De fato, já vimos que em é positivo e cresce. Logo em todo o intervalo. - Conclusão: como
é estritamente crescente, não dá pra ter duas raízes — só uma.
Resposta
A função tem exatamente um zero
no intervalo
.