Seja a função de R^+em R definida por f(x)=x^2-sen x
Mostrar que f admite um único zero (denotado barx ) dentro do intervalo [0.5,1).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a função
e a gente precisa mostrar que ela tem exatamente um zero (chamado fcolon R^+toR, f(x)=x^2-sen x,) em .
Conteúdo envolvido:
  1. Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário) para garantir existência de raiz quando a função muda de sinal.
  2. Derivada e monotonicidade para garantir que só exista UMA raiz.
    Tudo isso pressupõe que o aluno conheça o básico de contínua, derivada e sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos usar Bolzano para ter pelo menos UMA raiz.
  1. Verificar que f(0.5)=(0.5)^2-sen(0.5)approx 0.25-0.4794approx -0.2294<0, é contínua em f(1)=1^2-sen(1)approx 1-0.8415approx 0.1585>0 .
    – Como e são contínuas no intervalo, também é.
  2. Calcular e :
Como e , pela Bolzano existe pelo menos um tal que .

Passo 3

Agora, para mostrar que só existe essa UMA raiz, a ideia é provar que f'(x)=2x-cos x é estritamente crescente em f'(0.5)=2cdot0.5-cos(0.5)=1-cos(0.5)approx1-0.8776=0.1224>0 .
  1. Derivada de f'(x)=2x-cos x>= 2cdot0.5-1=0 :
  2. Verificar em todo .
    – No menor ponto do intervalo, : – Para , só cresce e , então De fato, já vimos que em é positivo e cresce. Logo em todo o intervalo.
  3. Conclusão: como é estritamente crescente, não dá pra ter duas raízes — só uma.

Resposta

A função tem exatamente um zero no intervalo .

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