Considere uma equação transcendental da forma f(barx)=0, onde f(x) é uma função de R em R.
Explicar o critério de parada utilizado e justificar o número de iterações necessário para realizar esta estimativa.

Passo 1

Beleza, a questão diz que a gente tem uma equação transcendental
f(bar x)=0,, f:RtoR
e pede para explicar qual critério de parada a gente usa num método numérico e como justificar quantas iterações são necessárias.
Conteúdo: método da bisseção (um clássico de análise numérica).
O que precisamos:
1) Um intervalo inicial com (sinal trocado).
2) Definir uma tolerância .
A partir do próximo passo, a gente mostra o critério de parada e calcula a quantidade de iterações.

Passo 2

Critério de parada (bisseção): a cada iteração dividimos o intervalo ao meio e escolhemos o subintervalo onde o sinal de bn-an2 troca.
A condição de parada comum é

ou seja, o comprimento do intervalo atual ficou menor que a tolerância .
Isso garante que a raiz está num intervalo de tamanho menor que .

Passo 3

Justificativa do número de iterações bn-an = b-a2^n, .
Na bisseção, a cada iteração o tamanho do intervalo cai pela metade:
b-a2^N+1 < varepsilon Longrightarrow 2^N+1 > b-avarepsilon Longrightarrow N+1 > log2!l(tfracb-avarepsilonr)
A gente quer N = lceil log2!l(tfracb-avarepsilonr) rceil - 1 , logo:

Portanto basta escolher

iterações para garantir o erro abaixo de .

Resposta

Critério de parada: parar quando N = lceil log2!l(tfracb-avarepsilonr) rceil - 1, .
Número de iterações mínimo:
pois isso assegura que o intervalo onde está a raiz tem comprimento menor que .

Exercícios relacionados