Considere uma equação transcendental da forma
, onde
é uma função de
em
.
Explicar o critério de parada utilizado e justificar o número de iterações necessário para realizar esta estimativa.
Explicar o critério de parada utilizado e justificar o número de iterações necessário para realizar esta estimativa.
Passo 1
Beleza, a questão diz que a gente tem uma equação transcendental
e pede para explicar qual critério de parada a gente usa num método numérico e como justificar quantas iterações são necessárias.
Conteúdo: método da bisseção (um clássico de análise numérica).
O que precisamos:
1) Um intervalo inicial
2) Definir uma tolerância
A partir do próximo passo, a gente mostra o critério de parada e calcula a quantidade de iterações.
Passo 2
Critério de parada (bisseção): a cada iteração dividimos o intervalo ao meio e escolhemos o subintervalo onde o sinal de
troca.
A condição de parada comum é
A condição de parada comum é
ou seja, o comprimento do intervalo atual
Isso garante que a raiz
Passo 3
Justificativa do número de iterações
.
Na bisseção, a cada iteração o tamanho do intervalo cai pela metade:
Na bisseção, a cada iteração o tamanho do intervalo cai pela metade:
A gente quer
Portanto basta escolher
iterações para garantir o erro abaixo de
Resposta
Critério de parada: parar quando
.
Número de iterações mínimo:
Número de iterações mínimo:
pois isso assegura que o intervalo onde está a raiz tem comprimento menor que
.