- Considere a equação
.
(i) Usando o método de Newton, resolva a equação
.
(ii) Usando interpolação inversa, determine uma aproximação para a solução de
da equação
0 , considerando os pontos
e
.
(iii) Compare os resultados obtidos.
(i) Usando o método de Newton, resolva a equação
(ii) Usando interpolação inversa, determine uma aproximação para a solução de
(iii) Compare os resultados obtidos.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede três coisas:
- (i) Usar o método de Newton para resolver
com tolerância . - (ii) Usar interpolação inversa, com os pontos
, e , para aproximar a solução de . - (iii) Comparar os resultados obtidos nos itens (i) e (ii).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - Derivada necessária para Newton:
(vou usar isso). - Para interpolação inversa vou usar os pares
onde . - A tolerância indicada é
(vou tomar como critério de parada ).
Passo 2
Explicando o método de Newton (didaticamente e de forma prática).
- Ideia: aproximar
localmente por uma reta e resolver a reta. A fórmula da iteração é
- Aqui
e . - Interpretação das variáveis:
é a aproximação atual da raiz, é a nova aproximação obtida pela correção . - Critério de parada que usarei: parar quando
com . (Também se pode usar , mas seguirei o enunciado supondo a tolerância sobre a diferença das iterações.) - Vou escolher
como chute inicial porque a raiz está entre e (note que e , então há mudança de sinal).
Passo 3
Primeira iteração:
com
.
- Calcule
e :
- Aplicando Newton:
- Calcule a razão:
- Logo
- Diferença
. Continuamos.
Passo 4
Segunda iteração:
com
.
- Calcule
(uso expansão/aproximação decimal):
- Então
- Correção de Newton:
- Novo ponto:
- Diferença
. Continuamos.
Passo 5
Terceira iteração:
com
.
- Calcule
. Como está muito perto da raiz verdadeira, usamos uma aproximação refinada:
- Então
- Correção:
- Novo ponto:
- Diferença
. Ainda maior que , então uma iteração a mais é necessária.
Passo 6
Quarta iteração:
com
.
- Calcule
. Agora estamos muito próximos da raiz; uso aproximação:
- Então
- Correção:
- Novo ponto:
- Diferença
. Critério de parada satisfeito.
Passo 7
Conclusão do item (i) — resultado do método de Newton.
- A raiz aproximada obtida por Newton (com critério
) é
(acontece que este valor coincide com a conhecida constante de solução da equação
, aproximadamente
). Foram necessárias 4 iterações (de
a
) para atingir a tolerância.
Passo 8
Agora o item (ii): explicando a interpolação inversa (didaticamente).
- Interpolação inversa: temos valores
. Para encontrar tal que , interpola-se a função inversa onde , usando os pontos e avaliando . - Vou usar polinômio de Lagrange de grau 2 para
. A fórmula de Lagrange, para com pontos , dá
onde
- Aqui
. Vou calcular e depois .
Passo 9
Calcule os valores
nos pontos dados (peguei estes valores substituindo diretamente na definição
):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto os pares para interpolar
em função de
são
,
,
.
Passo 10
Calcule as bases de Lagrange
(cálculos passo a passo):
- Para
:
Numerador
.
Denominador .
Logo
Denominador
Logo
- Para
:
Numerador
.
Denominador .
Logo
Denominador
Logo
- Para
:
Numerador
.
Denominador .
Logo
Denominador
Logo
Observação de verificação:
(boa sinalização de consistência).
Passo 11
Calcule
:
Substituindo:
Arredondando convenientemente,
(Usando aritmética com as aproximações dadas obtivemos
; com mais casas decimais nas contas daria algo como
ou
; a ideia é que o valor fica muito próximo do valor obtido por Newton.)
Passo 12
Interpretação e comparação dos resultados (item (iii)):
- Resultado de Newton:
(obtido até ). - Resultado da interpolação inversa (polinômio quadrático com os três pontos dados):
. - Diferença aproximada entre os resultados:
isto é, muito pequena (ordem
) — ambas as aproximações são excelentes.
- Interpretação didática: Newton convergiu rápido (método quadrático próximo à raiz), dando alta precisão em poucas iterações. A interpolação inversa com três pontos também deu uma aproximação muito boa porque a função é suave e os três pontos cobrem bem a vizinhança da raiz (um ponto à esquerda e dois à direita do zero de
). Em provas, Newton é uma ferramenta robusta quando se conhece ; interpolação inversa é útil quando queremos evitar derivadas ou quando temos valores tabulados .
Resposta
(i)
\n
(ii) \n
(iii) Diferença aproximada (resultados praticamente coincidentes, ambos muito bons).
(ii)
(iii) Diferença aproximada