- (i) Construir a tabela de
, usando 6 pontos igualmente espaçados, de tal forma que
e
.
(ii) Determinar o valor aproximado de
tal que
.
(iii) Determinar o valor aproximado de
.
(ii) Determinar o valor aproximado de
(iii) Determinar o valor aproximado de
Passo 1
Primeiro vamos deixar claro o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Pede (i) construir uma tabela de
em 6 pontos igualmente espaçados com e . - Pede (ii) determinar o valor aproximado de
tal que . - Pede (iii) determinar o valor aproximado de
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Os 6 pontos são igualmente espaçados entre
e . - Aqui interpretamos
como logaritmo decimal (base ). Justifico brevemente: e ; como está entre esses dois valores, faz sentido procurar entre e . Essa é a interpretação usual em tabelas de logaritmos pedidas em exercícios numéricos.
A partir daqui começamos a construir a tabela e a fazer as aproximações pedidas.
Passo 2
Calcular os pontos igualmente espaçados.
- O número de intervalos é
(porque pontos). - O passo (espaçamento) é
- Então os pontos são
Passo 3
Escolher um método prático para calcular
em cada ponto e explicar a ideia.
- Usaremos a identidade
Isto é útil porque todos os nossos pontos estão próximos de
, então podemos escrever
e então
- Para
podemos usar a série de Taylor (para não muito grande),
o que nos dá uma maneira de calcular
manualmente com boa precisão para
(no nosso caso
vai de
a
).
- Vamos usar as constantes (valores conhecidos ou bem tabulados)
Na prática manteremos 6 casas decimais finais para a tabela.
Passo 4
Calcular
em cada ponto usando a fórmula explicada. Vou mostrar os cálculos passo a passo para cada
.
Constantes numéricas que usaremos (com precisão suficiente):
Para cada ponto calculemos
, depois
(pela série ou por valor conhecido), depois dividimos por
e somamos
.
Passo 5
Cálculo para
:
-
. -
. - Assim
Passo 6
Cálculo para
:
-
. - Usando a série (alguns termos):
(Valor mais exato conhecido:
.)
- Dividindo por
:
- Somando
:
Passo 7
Cálculo para
:
-
. -
(série ou valor conhecido): . - Dividindo:
- Somando:
Passo 8
Cálculo para
:
-
. -
. - Dividindo:
- Somando:
Passo 9
Cálculo para
:
-
. -
. - Dividindo:
- Somando:
Passo 10
Cálculo para
:
-
. -
. - Dividindo:
- Somando:
Passo 11
Reunir a tabela final (valores arredondados a 6 casas decimais para ficar prático na prova):
-
, . -
, . -
, . -
, . -
, . -
, .
Esses valores batem com tabelas padrão de logaritmos com boa precisão.
Passo 12
Resolver (ii): determinar
tal que
.
- A equação é simples de isolar:
implica
- Calculando a potência (método prático:
). Num valor numérico:
- Como alternativa prática usando a tabela:
está entre e . Fazendo interpolação linear entre esses dois pontos obtenho uma aproximação
que é muito próximo de
obtido por
. O valor exato (antilog) é preferível:
.
Passo 13
Resolver (iii): determinar
.
- Use a propriedade
. - Mas
(porque ), então
- Com
,
- Observe que este valor está bem próximo de
, o que explica por que tal que fica ligeiramente acima de .
Resposta
(i)
\n
\n
\n
\n
\n
\n
(ii) \n
(iii)
(ii)
(iii)