1. (i) Construir a tabela de \log x, usando 6 pontos igualmente espaçados, de tal forma que x_{0}=2.00 e x_{5}=3,00.
    (ii) Determinar o valor aproximado de x tal que \log x=0.40.
    (iii) Determinar o valor aproximado de \log (2.5).

Passo 1

Primeiro vamos deixar claro o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pede (i) construir uma tabela de \log x em 6 pontos igualmente espaçados com \,x_{0}=2{,}00 e \,x_{5}=3{,}00.
  • Pede (ii) determinar o valor aproximado de x tal que \log x=0{,}40.
  • Pede (iii) determinar o valor aproximado de \log(2{,}5).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Os 6 pontos são igualmente espaçados entre \,2{,}00 e \,3{,}00.
  • Aqui interpretamos \log como logaritmo decimal (base 10). Justifico brevemente: \log_{10}(2)\approx0{,}3010 e \log_{10}(3)\approx0{,}4771; como 0{,}40 está entre esses dois valores, faz sentido procurar x entre 2 e 3. Essa é a interpretação usual em tabelas de logaritmos pedidas em exercícios numéricos.
A partir daqui começamos a construir a tabela e a fazer as aproximações pedidas.

Passo 2

Calcular os pontos igualmente espaçados.
  • O número de intervalos é 5 (porque 6 pontos).
  • O passo (espaçamento) é
h=\frac{3{,}00-2{,}00}{5}=0{,}20.
  • Então os pontos são
x_{0}=2{,}00,\quad x_{1}=2{,}20,\quad x_{2}=2{,}40,\quad x_{3}=2{,}60,\quad x_{4}=2{,}80,\quad x_{5}=3{,}00.

Passo 3

Escolher um método prático para calcular \log_{10} x em cada ponto e explicar a ideia.
  • Usaremos a identidade
\log_{10}x=\log_{10}2+\log_{10}\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr).
Isto é útil porque todos os nossos pontos estão próximos de 2, então podemos escrever
\frac{x}{2}=1+u,\qquad u=\frac{x-2}{2},
e então
\log_{10}\!\bigl(1+u\bigr)=\frac{\ln(1+u)}{\ln 10}.
  • Para \ln(1+u) podemos usar a série de Taylor (para u não muito grande),
\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{4}}{4}+\cdots,
o que nos dá uma maneira de calcular \ln(1+u) manualmente com boa precisão para u\le 0{,}5 (no nosso caso u vai de 0 a 0{,}5).
  • Vamos usar as constantes (valores conhecidos ou bem tabulados)
\ln 10\approx 2{,}302585093\qquad\text{e}\qquad \log_{10}2\approx 0{,}30102999566.
Na prática manteremos 6 casas decimais finais para a tabela.

Passo 4

Calcular \log_{10}x em cada ponto usando a fórmula explicada. Vou mostrar os cálculos passo a passo para cada x_{i}.
Constantes numéricas que usaremos (com precisão suficiente):
\ln 10=2{,}302585093,\qquad \log_{10}2=0{,}30102999566.
Para cada ponto calculemos u=(x-2)/2, depois \ln(1+u) (pela série ou por valor conhecido), depois dividimos por \ln 10 e somamos \log_{10}2.

Passo 5

Cálculo para x_{0}=2{,}00:
  • u=0.
  • \ln(1+u)=0.
  • Assim
\log_{10}(2{,}00)=\log_{10}2+0=0{,}30102999566\approx 0{,}301030.

Passo 6

Cálculo para x_{1}=2{,}20:
  • u=\dfrac{2{,}20-2}{2}=0{,}10.
  • Usando a série (alguns termos):
\ln(1+0{,}1)=0{,}1-\frac{0{,}1^{2}}{2}+\frac{0{,}1^{3}}{3}-\frac{0{,}1^{4}}{4}\approx 0{,}1-0{,}005+0{,}00033333-0{,}000025=0{,}09530833.
(Valor mais exato conhecido: \ln(1{,}1)\approx 0{,}0953101798.)
  • Dividindo por \ln 10:
\frac{\ln(1{,}1)}{\ln 10}\approx\frac{0{,}0953101798}{2{,}302585093}\approx 0{,}04139268516.
  • Somando \log_{10}2:
\log_{10}(2{,}20)\approx 0{,}30102999566+0{,}04139268516=0{,}34242268082\approx 0{,}342423.

Passo 7

Cálculo para x_{2}=2{,}40:
  • u=\dfrac{2{,}40-2}{2}=0{,}20.
  • \ln(1{,}2) (série ou valor conhecido): \ln(1{,}2)\approx 0{,}1823215568.
  • Dividindo:
\frac{\ln(1{,}2)}{\ln 10}\approx\frac{0{,}1823215568}{2{,}302585093}\approx 0{,}07918124605.
  • Somando:
\log_{10}(2{,}40)\approx 0{,}30102999566+0{,}07918124605=0{,}38021124171\approx 0{,}380211.

Passo 8

Cálculo para x_{3}=2{,}60:
  • u=\dfrac{2{,}60-2}{2}=0{,}30.
  • \ln(1{,}3)\approx 0{,}2623642645.
  • Dividindo:
\frac{\ln(1{,}3)}{\ln 10}\approx\frac{0{,}2623642645}{2{,}302585093}\approx 0{,}11394335231.
  • Somando:
\log_{10}(2{,}60)\approx 0{,}30102999566+0{,}11394335231=0{,}41497334797\approx 0{,}414973.

Passo 9

Cálculo para x_{4}=2{,}80:
  • u=\dfrac{2{,}80-2}{2}=0{,}40.
  • \ln(1{,}4)\approx 0{,}3364722366.
  • Dividindo:
\frac{\ln(1{,}4)}{\ln 10}\approx\frac{0{,}3364722366}{2{,}302585093}\approx 0{,}14612803568.
  • Somando:
\log_{10}(2{,}80)\approx 0{,}30102999566+0{,}14612803568=0{,}44715803134\approx 0{,}447158.

Passo 10

Cálculo para x_{5}=3{,}00:
  • u=\dfrac{3{,}00-2}{2}=0{,}50.
  • \ln(1{,}5)\approx 0{,}4054651081.
  • Dividindo:
\frac{\ln(1{,}5)}{\ln 10}\approx\frac{0{,}4054651081}{2{,}302585093}\approx 0{,}17609125906.
  • Somando:
\log_{10}(3{,}00)\approx 0{,}30102999566+0{,}17609125906=0{,}47712125472\approx 0{,}477121.

Passo 11

Reunir a tabela final (valores arredondados a 6 casas decimais para ficar prático na prova):
  • x_{0}=2{,}00, \log_{10}(2{,}00)\approx 0{,}301030.
  • x_{1}=2{,}20, \log_{10}(2{,}20)\approx 0{,}342423.
  • x_{2}=2{,}40, \log_{10}(2{,}40)\approx 0{,}380211.
  • x_{3}=2{,}60, \log_{10}(2{,}60)\approx 0{,}414973.
  • x_{4}=2{,}80, \log_{10}(2{,}80)\approx 0{,}447158.
  • x_{5}=3{,}00, \log_{10}(3{,}00)\approx 0{,}477121.
Esses valores batem com tabelas padrão de logaritmos com boa precisão.

Passo 12

Resolver (ii): determinar x tal que \log_{10}x=0{,}40.
  • A equação é simples de isolar: \log_{10}x=0{,}40 implica
x=10^{0{,}40}.
  • Calculando a potência (método prático: 10^{0{,}40}=e^{0{,}40\ln 10}). Num valor numérico:
0{,}40\ln 10\approx 0{,}40\cdot 2{,}302585093=0{,}9210340372,
x=e^{0{,}9210340372}\approx 2{,}5118864315.
  • Como alternativa prática usando a tabela: 0{,}40 está entre \log_{10}(2{,}40)\approx0{,}380211 e \log_{10}(2{,}60)\approx0{,}414973. Fazendo interpolação linear entre esses dois pontos obtenho uma aproximação
x\approx 2{,}4+\frac{0{,}40-0{,}380211}{0{,}414973-0{,}380211}\cdot 0{,}2\approx 2{,}5139,
que é muito próximo de 2{,}5119 obtido por 10^{0{,}40}. O valor exato (antilog) é preferível: x\approx 2{,}511886.

Passo 13

Resolver (iii): determinar \log_{10}(2{,}5).
  • Use a propriedade \log_{10}(2{,}5)=\log_{10}\!\biggl(\dfrac{5}{2}\biggr)=\log_{10}5-\log_{10}2.
  • Mas \log_{10}5=1-\log_{10}2 (porque 5=\dfrac{10}{2}), então
\log_{10}(2{,}5)=(1-\log_{10}2)-\log_{10}2=1-2\log_{10}2.
  • Com \log_{10}2\approx 0{,}30102999566,
\log_{10}(2{,}5)\approx 1-2\cdot 0{,}30102999566=1-0{,}60205999132=0{,}39794000868\approx 0{,}397940.
  • Observe que este valor está bem próximo de 0{,}40, o que explica por que x tal que \log x=0{,}40 fica ligeiramente acima de 2{,}5.

Resposta

(i) x_{0}=2{,}00:\; \log_{10}(2{,}00)\approx 0{,}301030\n
x_{1}=2{,}20:\; \log_{10}(2{,}20)\approx 0{,}342423\n
x_{2}=2{,}40:\; \log_{10}(2{,}40)\approx 0{,}380211\n
x_{3}=2{,}60:\; \log_{10}(2{,}60)\approx 0{,}414973\n
x_{4}=2{,}80:\; \log_{10}(2{,}80)\approx 0{,}447158\n
x_{5}=3{,}00:\; \log_{10}(3{,}00)\approx 0{,}477121\n
(ii) x\approx 10^{0{,}40}\approx 2{,}511886\n
(iii) \log_{10}(2{,}5)\approx 0{,}397940

Exercícios relacionados