Considere um equipamento cujo sistema de aritmética de ponto flutuante é F(2,10,-15,15). Para este sistema:
Qual é maior positivo exatamente representável?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Ele fala de um sistema de ponto flutuante
F(2,10,−15,15), ou seja:
  • base β=2
  • precisão p=10 bits na mantissa
  • expoentes E entre −15 e +15
    E a pergunta é: qual é o maior número positivo que dá pra representar exatamente nesse sistema?

Passo 2

Antes de começar a calcular, bora lembrar da teoria do ponto flutuante normalizado:
Um número normalizado em F(2,p,Emin,Emax) tem a forma

onde cada é 0 ou 1, e o expoente varia entre e .
Aqui:
  • , então a mantissa tem 10 bits depois do ponto.
  • Para achar o maior valor, a gente coloca todos os (máxima mantissa) e escolhe .

Passo 3

Então o maior número é
1.11111111112 times 2^15
Agora, pra entender melhor, convertemos essa mantissa:
1.11111111112 = 1 + tfrac12 + tfrac14 + cdots + tfrac12^10
Isso é uma soma geométrica que dá
1.11111111112 = 2 - 2^-10

Passo 4

Substituindo:
(2 - 2^-10) times 2^15 = 2^16 - 2^15-10 = 2^16 - 2^5 = 65536 - 32 = 65504

Resposta

O maior positivo exatamente representável em F(2,10,−15,15) é
1.11111111112 times 2^15 = 65504

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