Determine os autovalores da matriz
M=[ccc 4 & -2 & 3 -2 & 5 & -2 3 & -2 & 8 ]

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar os autovalores da matriz
M = 4 & -2 & 3 -2 & 5 & -2 3 & -2 & 8
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: autovalores e polinômio característico. Vamos precisar lembrar que um número lambda é autovalor de M se
det(M - lambda I)=0,
e depois resolver esse determinante (um polinômio em lambda) igual a zero.

Passo 2

Primeiro, montamos M - lambda I:
M - lambda I = 4-lambda & -2 & 3 -2 & 5-lambda & -2 3 & -2 & 8-lambda
A definição de autovalor diz que a gente deve calcular
det(M - lambda I);=;0
Isso gera um polinômio cúbico em lambda (o chamado polinômio característico).

Passo 3

Vamos calcular o determinante por expansão (regra de Sarrus ou Laplace). Após os cálculos, chega-se a
det(M - lambda I) = lambda^3 - 17lambda^2 + 75lambda - 91 = 0
Aqui usamos também propriedades conhecidas de matrizes simétricas (traço = soma dos autovalores, soma dos menores principais = soma dos produtos de pares de autovalores, determinante = produto dos autovalores) para conferir os coeficientes.

Passo 4

Agora precisamos resolver
lambda^3 - 17lambda^2 + 75lambda - 91 = 0
Testamos possíveis raízes racionais (divisores de 91: pm1,pm7,pm13,pm91) e não encontramos nenhum que anule exatamente o polinômio. Isso significa que os autovalores não são inteiros “bonitinhos”. Então a gente recorre a métodos numéricos (por exemplo, método da bisseção ou Newton) pra aproximar cada raiz real.
Usando mudanças de sinal e refinamentos, obtemos as três raízes reais aproximadas.

Passo 5

As três soluções reais desse cúbico (os autovalores) são aproximadamente
lambda1 approx 2.051, lambda2 approx 4.089, lambda3 approx 10.860

Resposta

Os autovalores da matriz M são aproximadamente
boxed2,051, 4,089, 10,860

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